استخدام نماذج ARIMAX 1438 ه م. Using ARIMAX Models To Forecasting Time Series. الدكتور/ أستاذ اإلحصاء املشارك إشراف شادي إسماعيل التلباني

Transcript

1 جامعة األزهر-غزة عمادة الدراسات العليا كلية االقتصاد والعلوم اإلدارية برنامج ماجستير اإلحصاء استخدام نماذج ARIMAX في التنبؤ بالسالسل الزمنية Using ARIMAX Models To Forecasting Time Series. إعداد الباحث محمد عبدالرحمن جاداهلل أبولبدة إشراف الدكتور/ شادي إسماعيل التلباني أستاذ اإلحصاء املشارك ق دمت هذه الرسالة استكماال ملتطلبات احلصول على درجة املاجستري يف اإلحصاء 1438 ه م

2 قال تعالى: بسم اهلل الرمحن الرحيم ع ل ما { ر ب ز د ني } وق ل صدق اهلل العظيم سورة طه جزء من اآلية 111 ii

3 إهداء إىل صاحب القلب الطيب والنوايا الصادقة وقدوتي احلسنة إىل نبع احلب واحلنان والتفاني اىل من كان دعاؤها سر جناحي إىل اليت ما فتئت تقابلين مع كل إطاللة مشس جديدة بروح وبسمه مجيلة إىل القلوب الطاهرة الرقيقة والنفوس الربيئة من عشنا معهم طفولتنا وأمجل حلظات حياتنا إىل رياحني حياتي ومهجة قليب إىل الشموع اليت حترتق لتضيء لآلخرين اىل كل من علمين حرفا إىل املغيبني يف غياهب السجن أسرى احلرية أبي أمي زوجيت اخوتي أبنائي أساتذتي عبد الدايم إىل من هلم يف قليب كل احلب واالحرتام أعمامي وعماتي أخوايل وخاالتي وأبنائهم إىل هذا الصرح العلمي منبع العلم والعلماء جامعة األزهر إىل أصدقائي األعزاء وكل من ساعدني يف إجناز هذا العمل... شكري اجلزيل وامتناني اىل كل هؤالء أهدي هذا اجلهد املتواضع iii

4 الشكر والتقدير احلمد هلل أقصى مبلغ احلمد والشكر هلل من قبل ومن بعد يا ربنا لك احلمد ولك الشكر كما ينبغي جلالل وجهك وعظيم سلطانك اللهم صلي على سيدنا حممد وعلى آله وصحبه وسلم. يف ختام هذا اجلهد املتواضع أقدم كلمة حب وتقدير وحتية وفاء وعرفان لوالدي احلبيبني اليت تقف الكلمات عاجزة عن وصف عطائهما وتضحيتهما. كما أتقدم خبالص الشكر والتقدير للدكتور: شادي التلباني الذي شرفين بقبوله اإلشراف واملتابعة على هذا البحث موجها وناصحا وهاديا بتواضع العلماء فله مين الوفاء ومن اهلل خري اجلزاء. كما أتقدم بالشكر اجلزيل ألعضاء جلنة املناقشة احملرتمني على تفضلهم بقبول مناقشة هذه الرسالة. كما أتقدم جبزيل الشكر والعرفان إىل أساتذتي الكرام يف قسم اإلحصاء: أ.د. حممود عكاشة أ.د. عبد اهلل اهلبيل د. مؤمن احلنجوري كما أشكر شقيقيت: عائشة على ما بذلته من مساعدة يف طباعة وتنسيق هذا البحث ليخرج يف أفضل صورة كما أشكر األستاذ: عالء اللخاوي على ما قدم من مساعدة واهتمام أثناء فرتة دراسة املاجستري. وال يسعين إال أن أتقدم بالشكر لألصدقاء وزمالء الدراسة وكل من حفزني على العمل ولو بابتسامة أو دعاء. iv

5 الملخص تناولت هذه الد ارسة المفاهيم األساسية للسالسل الزمنية والتنبؤ بها باستخدام أسلوب بوكس وجنكنز كما بينت نماذج ARIMAX كنماذج انحدار ديناميكي وعالقتها بالنماذج األخرى ARX( )ARMA OE BJ كما تناولت مفهوم أو ازن دالة التحويل ودالة االرتباط التقاطعي والعالقة بينهما ومفهوم عملية التبييض. وهدفت هذه الد ارسة إلى استخدام نماذج ARIMAX في التنبؤ بالسالسل الزمنية وذلك للتنبؤ بسلسلة الناتج المحلي اإلجمالي للواليات المتحدة )GDP( كمخرجات )متغير تابع( باستخدام سلسلة العمالة )Employment( كمدخالت )متغير مستقل( وتمتد كال السلسلتين لنفس الفترة الزمنية حيث تتكرر بشكل سنوي من 1 يناير يناير.2014 وتم التوصل إلى أن: نموذج ARIMA(1,1,0) أفضل نموذج من نماذج ARIMA لسلسلة بيانات الناتج المحلي اإلجمالي. نموذج ARIMA(0,1,1) أفضل نموذج من نماذج ARIMA لسلسلة بيانات حجم العمالة. نموذج (1,1,0) ARIMAX أفضل نموذج من النماذج المقدرة لسلسلة بيانات الناتج المحلي اإلجمالي باستخدام سلسلة العمالة. نماذج ARIMAX المقدرة أظهرت انخفاض لقيم MAPE AIC) (RMSE مقارنة بنماذج.ARIMA )1 )2 )3 )4 كما خلصت الد ارسة إلى جودة ومالئمة نماذج ARIMAX المقدرة لبيانات الناتج المحلي اإلجمالي باستخدام سلسلة العمالة حيث اجتازت الفحوص التشخيصية بنجاح كما كانت دقة النتائج التنبؤية أفضل في نموذج (. RMSE MAPE) مقارنة بنماذج أريما حسب المعايير اإلحصائية ل ARIMAX v

6 Abstract This study addressed the fundamental concepts of time series and forecasting with it by using the Box and Jenkins method, ARIMAX models have also illustrated as a dynamic regression models and its relationship to other models (ARX, BJ, OE and ARMA), it also addressed the concept of Impulse Response function, the Cross- Correlation Function and the relationship between them and the concept of Prewhitening process. This study aimed to use ARIMAX models to forecast time series, in order to forecast with Gross Domestic Product (GDP) series as an output (dependent variable) using employment series as input (independent variable) and both series extend to the same time period whereas observations are occurred annually commencing from 1 st of Jan, 1947 to 1 st of Jan, It has been concluded to the following: 1) ARIMA (1,1,0) model is the best among ARIMA models for the Gross Domestic Product (GDP) data series. 2) ARIMA (0,1,1) model is the best among ARIMA models for employment data series. 3) ARIMAX (1,1,0) model is the best among the fitting models to forecasting (GDP) series using the employment series. 4) ARIMAX fitting models showed decline in (RMSE, MAPE, AIC) compared with ARIMA models. Furthermore, this study concluded the suitability and quality of ARIMAX fitting models for the Gross Domestic Product (GDP) by using the employment data series as it has passed the diagnostic checks successfully. As well as, the accuracy of forecasting results were better in ARIMAX model compared with ARIMA models according to the statistical criteria for (RMSE, MAPE). vi

7 اآلية الفهرس ii... إهداء... iii الشكر والتقدير... iv الملخص... v vi...abstract الفهرس vii... قائمة الجداول xii... قائمة األشكال... xiii قائمة المختص ارت xv... الفصل األول...1 المقدمة... 1 مقدمة:... 2 مشكلة الد ارسة:... 3 أهداف الد ارسة: أهمية الد ارسة:... 3 حدود الد ارسة:... 3 مصدر البيانات:... 3 الد ارسات السابقة:... 3 منهجية الد ارسة: تقسيم الد ارسة:... 8 vii

8 الفصل الثاني...9 اإلطار النظري لنماذج السالسل الزمنية مقدمة: مفهوم السالسل الزمنية...11 تحليل السالسل الزمنية( Analysis 11...(Time Series متسلسلة الضجة البيضاء Series( 12...(White Noise السالسل الزمنية الساكنة Series) 12...)Stationary Time السالسل الزمنية غير الساكنة( Series (Non-stationary Time االستق اررية التامة Stationary) (Strictly االستق اررية الضعيفة( Stationary (Weak...13 عدم السكون حول الوسط...13 في حالة عدم ثبات التباين: فحص السكون: (D.F) إختبار أ- Dickey and Fuller البسيط 11...(A.D.F) Augmented اختبار ب- Dickey Fuller الموسع االرتباط الذاتي (ACF)) (Autocorrelation Function االرتباط الذاتي الجزئي Function) )Partial Autocorrelation ) نماذج بوكس-جينكنز لتحليل السالسل الزمنية Box-Jenkins) نماذج االنحدار الذاتي (Autoregressive) نماذج المتوسطات المتحركة Average) (Moving نماذج أرما المختلطة Model) 21...(Mixed viii

9 3.2 األنظمة الديناميكية النظم الديناميكية الحركية الخطية التصادفية Dynamic) :(Stochastic Linear نماذج دالة التحويل: )الصندوق األسود( Models) )Transfer Function المجموعة األولى: نماذج خطأ المعادلة Models) )Equation Error المجموعة الثانية: نماذج خطأ المخرجات Model) )...23 Output Error 4.2 طرق التنبؤ بالسالسل الزمنية نموذج أريما: 21...ARIMA model المرشح الخطي: filter) 21...(The linear نموذج دالة التحويل أرما: function) (The ARMA Transfer نموذج االنحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة مع متغي ارت خارجية( 28...(ARIMAX 5.2 أو ازن دالة التحويل )دالة االستجابة النبضة( function) 31...)Impulse Response دالة االرتباط التقاطعي )المضاعف(( Function (Cross-Correlation 7.2 العالقة بين نموذج دالة التحويل ودالة االرتباط التقاطعي: عملية التبييض 37...(Prewhitening) 9.2 التنبؤ بخطوة واحدة إلى األمام م ارحل بناء نموذج دالة التحويل )بناء نموذج )ARMAX التعرف على النموذج من خالل : :Yt Xt أ- تجهيز سلسلة المدخل والمخرج Prewhitening ب- إج ارء تبيض مسبق لكل من سلسلة المدخل وسلسلة المخرج:...01 ت- ث- حساب االرتباطات التقاطعية...01 تقدير مباشر ألو ازن الدالة التحويلية:...02 ix

10 تحديد القيم ج- r,s,b لنموذج الدالة التحويلية:...03 ح- تقدير مبدئي للضجة )نموذج ARMA لسلسلة الضجيج(: تقدير معلمات نموذج الدالة التحويلية: تشخيص النموذج: et أ -فحص دالة اإلرتباط الذاتي والذاتي الجزئي لسلسة البواقي et ب فحص اإلرتباط المتقاطع بين سلسلة المدخالت المبيضة αt والبواقي التنبؤ: معايير جودة النموذج: الخالصة: الفصل الثالث تحليل البيانات ومناقشة النتائج مقدمة الوصف اإلحصائي لبيانات السالسل الزمنية اختبار سكون السالسل الزمنية نماذج أرما )ARMA( للسالسل الساكنة أ-مرحلة التعرف على النماذج:...13 ب- ت- مرحلة تقدير النماذج...11 مرحلة تشخيص النماذج:...11 ث-مرحلة التنبؤ: نماذج 11...ARIMAX المرحلة األولى x

11 2.5.3 المرحلة الثانية أ( ب( تبييض أو فلترة السالسل الزمنية رسم دوال االرتباط التقاطعية المرحلة الثالثة...11 أ( ب( تحديد رتب نموذج...11 ARIMAX تحديد رتب دالة التحويل المتمثلة في 11...)r,s,b( المقترح...11 المرحلة ال اربعة: تقدير نموذج ARIMAX المرحلة الخامسة: تشخيص نماذج 13...ARIMAX المرحلة السادسة: مرحلة التنبؤ الخالصة: الفصل ال اربع النتائج والتوصيات النتائج...71 التوصيات: الم ارجع...73 الم ارجع العربية: الم ارجع األجنبية:...71 xi

12 الجدول (1.2) (2.2) (3.2) (4.2) (1.3) (2.3) (3.3) (4.3) (5.3) (6.3) (7.3) رقم الصفحة قائمة الجداول العنوان الفروق األولى للسلسلة الفروق الثانية للسلسلة صيغ وأشكال نموذج الدالة التحويلية عندما 0=r صيغ وأشكال نموذج الدالة التحويلية عندما 1=r الوصف الحسابي لبيانات السالسل الزمنية نتائج اختبار ديكى فوالر (ADF) وفليب بيرون (PP) للتحقق من سكون السالسل الزمنية المقارنة بين بدائل نماذج ARIMA الختيار النموذج األفضل نتائج تقدير النموذج األفضل لكل سلسلة زمنية من سالسل الد ارسة التنبؤ بقيم ثالث سنوات جديدة للسالسل الزمنية ومقارنتها مع القيم الحقيقية نتائج تقدير نماذج ARIMAX مقابل نموذج ARIMA لسلسلة بيانات الناتج المحلى اإلجمالي والعمالة التنبؤ بقيم ثالث سنوات جديدة للناتج المحلي اإلجمالي باستخدام نموذج ARIMA ونماذج ARIMAX xii

13 الشكل (1.2) (2.2) (3.2) (4.2) (5.2) (6.2) (1.3) (2.3) (3.3) (4.3) (5.3) (6.3) (7.3) (8.3) (9.3) قائمة األشكال العنوان هيكل النظام الديناميكي أو ازن دالة االستجابة النبضية نظام دالة التحويل نظام نموذج ARIMAX مرشح ARMA تبييض سلسلة Y لتكون ضجة {e} التسلسل الزمني لمتغي ارت الد ارسة في المستوى دوال االرتباط الذاتي واالرتباط الذاتي الجزئي للسالسل الزمنية الساكنة رسم البواقي المعيارية ودالة االرتباط الذاتي للبواقي وداللة اختبار( Ljung-Box ) لنموذج (1,1,0) ARIMA لسلسلة بيانات الناتج المحلى اإلجمالي رسم البواقي المعيارية ودالة االرتباط الذاتي للبواقي وداللة اختبار( Ljung-Box ) لنموذج (1,1,0) ARIMA لسلسلة بيانات حجم العمالة رسم القيم الحقيقية والمقدرة والتنبؤات لسلسلة بيانات الناتج المحلي اإلجمالي وفق نموذج (1,1,0) ARIMA رسم القيم الحقيقية والمقدرة والتنبؤات لسلسلة بيانات حجم القوى العاملة وفق نموذج (0,1,1) ARIMA رسم دوال االرتباط التقاطعية لسلسلتي الناتج المحلى (Y) والعمالة رقم الصفحة (X) في المستوى وفي الفرق األول وللسالسل المفلترة رسم البواقي المعيارية لنموذجي ARIMAX رسم دوال االرتباط الذاتي لبواقي نماذج ARIMAX xiii

14 65 القيمة االحتمالية الختبار statistics) (Ljung-Box التحويل Function) (Transfer لنموذج دالة (10.3) القيمة االحتمالية الختبار statistics) (Ljung-Box لنموذج ARIMAX رسم القيم الحقيقة والمقدرة لسلسلة بيانات الناتج المحلي اإلجمالي وفق النماذج المختلفة رسم تخطيطي لم ارحل بناء نموذج ARIMAX (11.3) (12.3) (13.3) xiv

15 قائمة المختص ارت المعنى الرمز GDP ARIMAX ARMA ARX SARIMA TFM AR MA ARIMA ACF PACF BIC MSE MAE الناتج المحلي اإلجمالي Gross Domestic Product نموذج االنحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة مع مدخالت إضافية Autoregressive Moving Average With Exogenous Input Model نموذج االنحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة Autoregressive Moving Average نماذج االنحدار الذاتي مع مدخالت إضافية Autoregressive With Exogenous Input Model االنحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة التكاملية الموسمية Seasonal Autoregressive Moving Average Integrated نموذج دالة التحويل Transfer Function Model االنحدار الذاتي Auto Regressive المتوسطات المتحركة Moving Average االنحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة التكاملية Auto Regressive and Moving Average Integrated دالة االرتباط الذاتي Auto Correlation Function دالة االرتباط الذاتي الجزئي Partial Auto Correlation Function معيار المعلومات البيزي Bayesian Information Criterion متوسط مربعات األخطاء Mean Squared Error متوسط األخطاء المطلقة Mean Absolute Error xv

16 MAPE AIC B LB Q RMSE DF ADF PP CCF OE BJ GARCH ANN ARCH λ متوسط األخطاء النسبية المطلقة Mean absolute percent error معيار أكاكي للمعلومات Akiake Information Criterion عامل اال ازحة للخلف Backshift operator اختبار لوجينق بوكس Ljung-Box test عامل الفرق للخلف Differencing operator متوسط جذر مربعات األخطاء Root Mean Squared Error اختبار ديكي فولر Dickey Fuller اختبار ديكي فولر الموسع Augmented Dickey Fuller اختبار فيليب بيرون Phillips and Perron دالة االرتباط التقاطعي )المضاعف( Cross-Correlation Function نموذج خطأ المخرجات Output Error Model نموذج بوكس جينكنز Box Jenkins نماذج االنحدار الذاتي المشروط المعممة Generalize Autoregressive Conditional Heteroscedastic الشبكات العصبية اإلصطناعية Artificial Neural Network نماذج االنحدار الذاتي المشروط Autoregressive Conditional Heteroscedastic معلمة التحويل Transformation Parameter xvi

17 الفصل األول املقدمة

18 1.1 مقدمة: يعد التنبؤ بالسلوك المستقبلي من الموضوعات المهمة في العلوم اإلحصائية وذلك للحاجة إليه في مجاالت الحياة المختلفة إن أغلب الدول تعتمد في ب ارمجها التنموية على أسس وأساليب علمية متطورة من اجل الوصول إلى نتائج أكثر فاعلية ولعلم اإلحصاء والسالسل الزمنية الدور الرئيسي في بناء هذه الب ارمج من خالل التحليل بمعرفة الماضي والتنبؤ بالمستقبل واحتياجاته وفق اإلمكانيات المتاحة )عبد الرسول 1981(. أدى الركود الكبير الذي وقع في عام 2008 إلى ارتفاع مستويات البطالة بمقدار 30 مليون شخص لينخفض معدل العمالة على الصعيد العالمي الى أدنى مستوى له في عقدين وفي كلمة ألقيت عام 2012 شددت مديرة عام صندوق النقد الدولي كريستين الغارد على أن " أسواق العمل التي تعمل بصورة أفضل تشكل لبنة بناء أساسية لنمو الناتج القابل لالستم ارر واستحداث الوظائف " Salgado,2012(.)Loungani and حيث يعرف الناتج المحلي اإلجماليProduct (GDP) Gross Domestic بأنه )القيمة النقدية السوقية لكل السلع والخدمات النهائية في اقتصاد ما خالل فترة زمنية معينة عادة ما تكون سنة( وتعرف العمالة )بأنها العدد السنوي لألشخاص العاملين في كل بلد(. ويعتبر مؤشر (GDP( من أكثر المعايير استخداما وأكثرها تقدما عند قياس مستوى التقدم االقتصادي في معظم دول العالم. ونظ ار ألهمية هذا الموضوع فإن األساليب المستخدمة في تحسين التنبؤ تتطور بين الحين واآلخر نموذج السلسلة الزمنية ARMAX(p,q) ويعتبر نموذج االنحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة مع مدخالت إضافية( Model (Autoregressive Moving Average With Exogenous Input من أفضل النماذج الديناميكية المستخدمة في التنبؤ بقيمة الظاهرة ويرجع ذلك إلى الشكل الرياضي لهذا النموذج والذي يتكون من خلط نموذجي االنحدار واالنحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة( ARMA(p,q ومن ثم يتميز هذا النوع من النماذج بأنه يعطي نتائج ذات كفاءة عالية في التنبؤ مقارنة بنتائج هذين النموذجين كال على حدة. لذلك جاءت أهمية هذا البحث في استخدام نماذج السالسل الزمنية ARIMAX للتنبؤ بالناتج المحلي اإلجمالي) GDP ( للواليات المتحدة كمخرجات )متغير تابع( باستخدام سلسلة العمالة )Employment( كمدخالت )متغير مستقل(. 2

19 مشكلة الد ارسة: وبناء على ما سبق تتمحور مشكلة الد ارسة في التساؤل الرئيسي التالي: ما هو النموذج اإلحصائي األمثل من بين نماذج ARIMAX للواليات المتحدة. أهداف الد ارسة: أهمية الد ارسة: التعرف على نماذج.ARIMAX تحديد النموذج األمثل من نماذج ARIMAX في التنبؤ بالناتج المحلي اإلجمالي بناء على المؤش ارت اإلحصائية. التنبؤ بالناتج المحلي اإلجمالي للواليات المتحدة بناء على النموذج األمثل. تنقسم أهمية الد ارسة إلى ج أزين:.1.2 حدود الدر اسة: األهمية التطبيقية: وتتمثل والمستثمرين والباحثين عن التنبؤ بالناتج المحلي من وضع الخطط االقتصادية لمواجهة في تزويد المهتمين بالجانب اإلقتصادي من أصحاب الق ارر اإلجمالي للواليات المتحدة وما يترتب أي أزمات أو مشاكل إقتصادية محتمله. األهمية اإلحصائية: وتتمثل في استخدام وتطبيق أساليب أخرى مثل أسلوب الذي يعمل على تقوية النموذج بإدخال متغي ارت مستقلة في النموذج. عليه ARIMAX - - مصدر البيانات: الحدود المكانية: الواليات المتحدة األمريكية. الحدود الزمانية: من عام 1947 حتى عام تم الحصول على بيانات الد ارسة وهي الناتج المحلي اإلجمالي والعمالة من US. Bureau of.economic Analysis الد ارسات السابقة: تناولت منها:.1 العديد من الد ارسات أسلوب ARIMAX )فخري مع ARMAX للتنبؤ بالسالسل الزمنية نستعرض في د ارستنا هذه 2015( وهي د ارسة بعنوان "التنبؤ بقيم السالسل الزمنية باستعمال انموذج تطبيق عملي على درجات ح اررة المباني" ركزت هذه الرسالة في د ارسة احد

20 نماذج الصندوق االسود وهو انموذج ARMAX الذي يعد من النماذج المهمة الذي يمكن الحصول من خالله على عدد من الحاالت الخاصة وهي نماذج (AR, MA, ARMA ARX), والذي يدمج بين اسلوب السالسل الزمنية التي تعتمد على البيانات التاريخية واسلوب االنحدار بمتغي ارت توضيحية اضافة الى ذلك االخطاء السابقة وقد ظهرت أهمية أنموذج ARMAXفي الكثير من المجاالت التطبيقية ذات تماس مباشر بحياتنا اليومية وتتألف عملية بناء انموذج ARMAX من عدة م ارحل تقليدية وهي التشخيص والتقدير إذ تم اقت ارح طريقة تدمج بين مقدرين مقدر RPLR و مقدر RLS F وتأتي اخي ار عملية التنبؤ ب) 33 ( قيمة لدرجة الح اررة العظمى اليومية اعتمادا على سرعة الرياح اليومية. 2. )2015, al. )Aryani et وهي د ارسة بعنوان ( نمذجة تقلب التضخم باستخدام نماذج ) ARIMAX-GARCH حيث قام الباحثون باستخدام وتطوير نماذج ARMA بعوامل خارجية لد ارسة وتوقع معدل التضخم المالي باستخدام سلسلة أسعار النفط العالمية حيث تمتد كال السلسلتين من يناير ديسمبر 2014 حيث واجه الباحثون عدم اتساق في التباين بين السالسل الزمنية بسبب مشكلة عدم التجانس لذا لجأوا الستخدام نموذج GARCH ونموذج )GJR-GARCH( حيث من الممكن أن يظهر أثر إيجابي في التكيف مع التقلبات في شكل الصدمات السلبية حيث أظهرت النتائج أن نموذج ARIMAX-GJR GARCH هو النموذج األفضل للتنبؤ بمعدل التضخم القومي إلندونيسيا. (Hamjah and Chowdhury, 2014).3 والهيدرولوجية ARIMAX وهي موسومة بعنوان " التأثي ارت قياس المناخية على إنتاج المحاصيل النقدية وانتاج التنبؤ في بنغالديش باستخدام نموذج " هدفت من هذه الد ارسة المناخية اآلثار قياس إلى والهيدرولوجية إنتاج على المحاصيل النقدية في بنغالديش باستخدام نموذج ARMA بوكس جينكنز بمتغي ارت مفسرة وهو نموذج ARIMAX حيث في الوقت نفسه تنبأ الباحثان بإنتاج المحاصيل النقدية تحت النظر في اآلثار المناخية والهيدرولوجية حيث ليس من السهل جدا قياس التأثي ارت المناخية إنتاج من مختلفة أنواع على المحاصيل الز ارعية والهيدرولوجية كما يحدث عادة في نموذج االنحدار بسبب تسلسل زمن البيانات لذلك بسبب تسلسل زمن البيانات تم استخدام نماذج ARIMAX في هذه الد ارسة لقياس التأثي ارت المناخية والهيدرولوجية على انتاج محاصيل النقد الرئيسية في بنغالديش 4

21 و استخدمت المتغي ارت المناخية والهيدرولوجية كمتغير خارجي )مفسر( ARIMAX المقدرة إلنتاج قصب السكر والشاي والدخان والتبغ و والقطن كانت أفضل نماذج على الترتيب هي.ARIMAX(1,1,0) ARIMAX(0,1,1) ARIMAX(0,1,1) ARIMAX(0,1,1) 4. (2012, al. (Hao et وهي بعنوان "محاكاة تأثير األنشطة البشرية وتغير المناخ على استنفاذ وتفريغ ينابيع يولين باستخدام نماذج " ARIMAX وتناولت هذه الد ارسة تأثير كال من األنشطة البشرية وتغير المناخ على تفريغ واستنفاذ حوض ينابيع يولين وتم استخدام است ارتيجية دالة متعددة لتطبيق نماذج ARIMAX لسلسة تدفق النبع لقياس تأثير كل من تغي ارت المناخ واألنشطة البشرية حيث أشارت نتائج التحليل إلى مساهمة تقلب المناخ على استن ازف وتفريغ النبع هو ثانية/ 0.2- m 3 من 1970 إلى 2000 وكانت مساهمة األنشطة البشرية على استن ازف تدفق النبع ثانية/ m 3 والتي كانت حوالي 13 مرة أكثر من تأثير اختالف المناخ وتشير التحليالت إلى أن استغالل المياه الجوفية يمثل فقط 29% من استن ازف تدفق النبع بسبب آثار األنشطة البشرية ومن المرجح أن 71% من أسباب نضوب النبع تكون ناتجة من األنشطة البشرية األخرى بما في ذلك بناء السد ونزح المياه الجوفية خالل تعدين الفحم واازلة الغابات (2015 (Williams, وهي بعنوان " التنبؤ متعدد المتغي ارت لتدفق حركة مرور المركبات: تقدير نماذج " ARIMAX حيث أشار الباحث أن جهود التنبؤ السابقة ركزت على تدفق حركة المرور السريع على المدى القصير للتوقعات حيث تستمر فقط على المالحظات السابقة على الموقع هذا التوقع وحيد المتغير هو مفيد ألنواع معينة من نظام النقل الذكي )ITS) مثل توقعات الطلب التشغيلية عند نقاط دخول النظام. باإلضافة إلى ذلك البيانات من أجهزة استشعار المنبع تعمل على تحسين التوقعات في مواقع المصب وبالتالي هذا يحفز التحري في نماذج التنبؤ متعددة المتغي ارت التي تشمل بيانات استشعار المنبع حيث رشح الباحث هنا استخدام نموذج دالة التحويل ARIMAX وذكر الباحث أنه تم تطبيق نموذج ARIMAX الى بيانات الطريق السريع في فرنسا للتنبؤ بتدفق المرور. وتشير النتائج إلى أن نماذج ARIMAX توفر أداء وتحسن أفضل من نماذج التنبؤ وحيدة المتغير. كما أشار الباحث إلى أنه البد من معالجة عدة قضايا قبل االستخدام الواسع لنماذج ARIMAX حتى تعطي توقعات مجدية: وتشمل هذه

22 القضايا التعقيد المت ازيد لمواصفات النموذج التقدير وصيانتها واتساق النموذج ومتانة النموذج في مواجهة انقطاع في سلسلة بيانات المنبع والتغير والتقلب في االرتباطات التقاطعية بين مالحظات المنبع والمصب لحركة مرور المركبات. كما أشار الباحث إلى قضية حرجة وهي أن نماذج ARIMAX تفترض دالة تحويل ثابتة للمعلمات حيث أن العالقة بين المنبع والمصب تتنوع مع ظروف المرور وخاصة حركة سرعة التيار. لذلك أشار الباحث إلى الحاجة إلى مزيد من البحوث والتحري لتحقيق ملحقات النموذج وتحسينه. ARIMA And وهي موسومة بعنوان "بناء نماذج (Andrews et al.,2013).6 ARIMAX للتوقع بالمدى الطويل لمعدالت تطبيقات م ازيا وعجز القطاع العام والخاص" وتناولت هذه الد ارسة كيفية بناء أسلوبين من أساليب التنبؤ وهما ARIMA and ARIMAX وقارنت بينهما وأوضحت أن الفرق بين هذين األسلوبين هو وجود العوامل الخارجية في نموذج التنبؤ ARIMAX كما أوضحت أن هذين األسلوبين لديهما المقدرة على التنبؤ الربعي الدقيق. 7. (2010 al., (Architektur et وهي بعنوان "التنبؤ باستخدام نماذج ARIMAX لتدفق المرور على الطريق السريع على المدى القصير". حيث قارن التنبؤ باستخدام نماذج ARIMAX ونماذج التنبؤ الموسمي SARIMA لتدفق حركة المرور على الطريق السريع حيث بينت النتائج أن نماذج ARIMAX أكثر قدرة لتحرى أثر تدفق المرور مقارنة بنماذج SARIMA وبالتالي أكثر دقة حيث استخدم الباحث المؤش ارت اإلحصائية المختلفة في المقارنة بين النموذجين. SARIMA and وهي بعنوان "كفاءة كل من نموذجي (Nasiru et al.,2013).8 ARIMAX في التنبؤ بشكل شهري لتوزيع العملة في مدينة جهانا" في هذه الد ارسة تناول البحث كفاءة كل من نموذجي ARIMAX and SARIMA في توزيع العملة في مدينة جهانا في غرب أفريقيا حيث أبدى كل من النموذجين أنهما مناسبين بشكل كافي واستخدم ljung-box test and ARCH-LM test في اختبا ارت التشخيص حيث أظه ار عدم وجود ارتباط خطي واستخدم اختبار Diebold-Mariano حيث أظهر عدم وجود فروق 6

23 معنوية في التنبؤ الذي أجري باستخدام هذين النموذجين ومن ثم فهذان النموذجان مقترحان للتنبؤ في توزيع العملة. 9. (2013 kruangpradit, (Kongcharoen and وهي بعنوان "نموذج االنحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة بمتغي ارت خارجية ARIMAX لتصدير تايالند" تناولت هذه الد ارسة التنبؤ التصدير التجاري لتايالند باستخدام نماذج ARIMA حيث كان السؤال الرئيسي فيما إذا كان المتغير التوضيحي شركاء التجارة مؤشر قيادة يساعد في تحسين أداء التنبؤ خصوصا أننا نقارن بين ARIMA وحيدة المتغير وARIMA بالمتغي ارت المفسرة حيث وجد أن نماذج ARIMA بالمتغير التوضيحي يتفوق على نماذج ARIMA وعالوة على ذلك قام مختصون في و ازرة التجارة التايالندية بمحاولة التنبؤ بالتصدير المقسم للسلع التجارية لكل وجهة تصدير ثم قاموا بالتنبؤ بالسالسل بشكل مشترك نسمي هذه الطريقة بالطريقة غير المباشرة للتنبؤ لكن نشتبه فيما إذا كانت هذه الطريقة تزودنا لتنبو أكثر دقة من النموذج المجمع المباشر للتنبؤ حيث وجدنا أن الطريقة غير المباشرة للتنبؤ ال تتفوق للطريقة المباشرة للتنبؤ في شركاء التجارة المعتبرين منهجية الد ارسة: سيتم االعتماد في هذه الد ارسة على استخدام األسلوب اإلحصائي ARIMAX للتنبؤ والذي يختلف عن نماذج ARIMA للتنبؤ وحيده المتغير series( ) Univariate time حيث عند دخول سالسل زمنيه أخرى كمدخالت كمتغي ارت دخيلة ومفسرة يتحول من نموذج ARIMA إلى نموذج ARIMAX والذي صورته العامة: (1 φ 1 B φ 2 B 2 φ p B p ) (Y t i=0 w i X t i ) m 8.1 =(1 θ 1 B θ 2 B 2 θ q B q )ε t أو يمكن كتابته باستخدام مؤشر اإل ازحة الخلفي على الصورة: y t = B(q) A(q) u t + C(q) A(q) e t 7

24 وبالتالي إمكانية دمج سلسلة أو أكثر في نموذج للتنبؤ بقيمة سالسل أخرى باستخدام نموذج دالة التحويل والذي صورته (TFM) Transfer Function Model العامة: y t = v(b)x t + N t حيث يستخدم لنمذجة والتنبؤ باستجابة السالسل للتحليل إثر تأثير التداخل ومن المفضل أن نبني لكل من سلسلة المدخالت )المتغير المستقل( وسلسلة المخرجات التابع( )المتغير نموذج ARIMA قبل محاولة بناء دالة التحويل ويفضل أن تكون كال السلسلتين مستقرة وقد تناولت الد ارسات السابقة بناء نموذج دالة التحويل مشابه لعمليه بناء نموذج ARIMA إلى حد ما حيث يمر بم ارحل: النموذج تحديد تشخيص Model Identification تقدير النموذج Model Fitting واختبار وبالتالي إذا كان نموذج دالة التحويل )مالئم( بشكل كاف نستطيع النموذج Model Diagnostic القيام بالتنبؤ. 9.1 تقسيم الد ارسة: سيتم تقسيم الد ارسة إلى أربعة فصول حيث سنتناول في الفصل األول المقدمة ومشكلة وأهداف الدر اسة وأهمية الد ارسة واستع ارض ألهم البحوث والد ارسات السابقة إضافة لمنهجية الد ارسة. أما الفصل الثاني يحتوي الجانب النظري الذي يشمل بعض المفاهيم األساسية لنماذج.ARIMAX والفصل الثالث يحتوي على الجانب العملي حيث تحليل البيانات ومناقشة النتائج. أما الفصل ال اربع يحتوي على أهم النتائج التي تم التوصل إليها من خالل هذه الد ارسة والتوصيات المقترحة. 8

25 الفصل الثاني اإلطار النظري لنماذج السالسل الزمنية 9

26 مقدمة: 1.2 من المؤكد أن تحليل السالسل الزمنية على المستوى العالمي قد شهد في النصف الثاني من القرن العشرين تطو ار بالغ األهمية خاصة في العقود الثالثة األخيرة ومن المؤكد أيضا ان هذا التطور يعزي الى المنهجية الحديثة التي قدمها العالمان بوكس وجينكنز في مطلع السبعينات من نفس القرن والتي أصبحت منذ ذلك الوقت األداة األكثر قبوال وشيوعا في األوساط العملية والنظرية والتطبيقية خاصة في العالم المتقدم حيث أثبتت هذه المنهجية كفاءة عالية في نمذجة البيانات الزمنية والتنبؤ بها )شع اروي 2005(. إن الكثير من البيانات الخاصة بإدارة األعمال والهندسة والعلوم الطبيعية تكون بشكل سالسل زمنية عندما تكون المشاهدات غير مستقلة وهذه الصفة تعتمد على زمن النماذج يعزى االهتمام الكبير بموضوع السالسل الزمنية على الحاجة الماسة لنظام تنبؤ موثوق ممكن االعتماد عليه إن نموذج السلسلة الزمنية الذي يحتوي على متغير واحد فقط يسمى Univariate Time series أما نموذج السلسلة الزمنية الذي يستخدم متغي ارت أخرى لوصف سلوك السلسلة الزمنية يسمى Multivariate time series )فاندل 1992(. وحيث التنبؤ باستخدام نماذج ARIMA يرتكز على استخدام سلسلة زمنية واحدة دون أن يستعمل حزمة المعلومات المتاحة في سالسل زمنية أخرى مرتبطة بها. وفي كثير من مواقف التنبؤ تؤدي أحداث أخرى إلى حدوث تأثير منتظم في السلسلة الزمنية التي نرغب في التنبؤ بها )المتغي ارت التابعة( لذا فأننا نحتاج إلى استخدام نماذج تنبؤ متعددة المتغي ارت وهنا يجب علينا بناء نموذج تنبؤ يتضمن أكثر من سلسلة زمنية واحدة ويبين الخصائص الديناميكية للنظام. ويسمى مثل هذا النموذج السالسل الزمنية المتعددة (Time series.)wei, ; )فاندل, ARIMAX أو نموذج دالة التحويل أو نموذج Model Multiple) أي باإلضافة إلى القيم الماضية لسلسلة االستجابة واألخطاء الماضية نستطيع أن ننمذج سلسلة االستجابة المخرجات) المتغير التابع( باستخدام القيم الحالية والماضية لسالسل أخرى سلسلة المدخالت ( المتغير المستقل( مثل التنبؤ بسلسلة المبيعات لمنتج معين كسلسلة مخرجات) المتغير التابع( حيث تتأثر بسلسلة األسعار لهذا المنتج حيث تدخل في النموذج كسلسلة مدخالت )متغير مستقل(.العديد من األسماء المختلفة تستخدم لتصف نماذج ARIMA بسالسل مدخالت مثل [ نموذج دالة التحويل Interrupted Box-Tiao model Intervention model Regression model with arma errors time series model نموذج ]ARIMAX كلها أسماء مختلفة لنماذج ARIMA بسلسلة مدخالت حيث أشار )1991( Pankratz لهذه النماذج كإنحدار ديناميكي. 01

27 2.2 مفهوم السالسل الزمنية عند مطلع العقد السابع من القرن العشرين ظهر اهتمام مت ازيد بتحليل السالسل الزمنية وط ارئق التنبؤ بقيمها المستقبلية فقد كانت تعد من أبرز األساليب اإلحصائية المستخدمة في التنبؤ للكثير من التطبيقات والمجاالت العلمية وي عزى االهتمام الكبير بالسالسل الزمنية إلى الحاجة الماس ة لنظام تنبؤ موثوق به لتفسير الكثير من الظواهر في مختلف مجاالت الحياة وهذا النظام التنبؤي يتطلب بناء نماذج دقيقة ت سمى بنماذج السالسل الزمنية اذ كانت ب ؤرة البحث والتطوير في السنوات األخيرة للعديد من المجاالت. ولذلك يعد التنبؤ من المسائل المهمة منذ أمد بعيد وبقي هذا الموضوع محط اهتمام الباحثين في سائر الحقول )محمد 2011(. السلسلة الزمنية: هي عبارة عن مجموعة من المشاهدات لظاهرة معينة خالل فترة زمنية وتعرف السلسلة الزمنية رياضيا بأنها متتابعة من المتغي ارت العشوائية معرفة ضمن فضاء االحتمالية متعددة المتغي ارت ومؤشرة بالدليل t والذي يعود إلى المجموعة الدليلية T ويرمز للسلسة الزمنية عادة {T,( x(t }أو t اختصا ار x(t) وتتكون من متغيرين احدهما توضيحي وهو متغير الزمن واآلخر متغير االستجابة وهو قيمة الظاهر المدروسة ويمكن التعبير عنها رياضيا كاآلتي: f(t) y. = أما إذا كان هناك عوامل أخرى )متغي ارت توضيحية أخرى( إلى y = f(t, x 1, x 2,., x n ) جانب الزمن تؤثر y على الظاهرة نستخدم العالقة الرياضية التالية: ويمكن تمثيل السالسل الزمنية على شكل بياني)العبيدي 1989 ( تحليل السالسل الزمنية Analysis) :(Time Series يعد موضوع تحليل السالسل الزمنية من المواضيع اإلحصائية المهمة التي تتناول سلوك الظواهر وتفسرها عبر حقب محددة ويمكن إجمال أهداف تحليل السالسل الزمنية بالنقاط االتية: )فاندل 1983( الحصول على وصف دقيق لمالمح العملية التي تتولد منها السلسلة الزمنية. بناء نموذج لتفسير سلوك السلسلة الزمنية واستخدام النتائج للتنبؤ بسلوك السلسلة في المستقبل. التحكم في العملية التي تتولد منها السلسلة الزمنية بفحص ما يمكن حدوثه عند تغيير بعض معلمات النموذج. 00

28 وسنتناول في د ارستنا بعض التعاريف التي لها عالقة بالسالسل الزمنية: متسلسلة الضجة البيضاء Series( (White Noise أوعملية الضجة البيضاء a} t } White Noise Process هي عبارة عن متتابعة من المشاهدات العشوائية غير المت اربطة )واحيانا نفترض انها متتابعة من المتغي ارت العشوائية التي تكون مستقلة ولها توزيعات متطابقة بمتوسط صفري وتباين ثابت σ 2 (Independent, Identically Distributed (IID) أي )بري 2332 (: 1) E(a t ) = 0, t 2) cov(a t, a s ) = { σ2, t, s, t = s 0, t, s, t s ويرمز لها بالرمز ) 2 a t ~WN(0, σ السالسل الزمنية الساكنة Series) :)Stationary Time يقال للسلسلة الزمنية بأنها ساكنة (Stationary) إذا لم يكن هناك نمو أو انح ارف في البيانات )عدم ظهور اتجاه عام( أي تبعثر البيانات أفقيا حول متوسط ثابت بعبارة أخرى تذبذب البيانات حول وسط حسابي ثابت مستقل عن الزمن وكذلك التباين ثابتا عبر الزمن( 1998, al..(makridakis et إن السالسل الزمنية غير الساكنة Series) (Non-stationary Time : معظم الظواهر التطبيقية والعملية في السالسل الزمنية تتصف بخاصية عدم االستق اررية وذلك ألحد األسباب اآلتية )المحمدي وطعمة 2011(: وجود اتجاه عام. وجود تقلبات موسمية. عدم استقرار التباين أو الوسط الحسابي عبر الزمن لذلك يطلق عليها سلسلة غير مستقرة االستقرارية التامة Stationary) :(Strictly يقال أن السلسلة } t X} ذات استق اررية تامة إذا كان التوزيع االحتمالي المشترك للمتغي ارت X t1, X t2,. X tn هو نفس التوزيع االحتمالي المشترك للمتغي ارت X t1+k, X t2+k,., X tn+k ولجميع النقاط الزمنية المختارة t 1, t 2,. t n وألي ثابت )آمين بك )2005. ويمكن أن نقول أن السلسلة الزمنية مستقرة إعتمادا على الرسم البياني للمشاهدات وكذلك إذا كان لها وسط حسابي وتباين ثابت خالية من التأثي ارت يقال أنها مستقرة عند تحقيق الشروط اآلتية: 02

29 )1 ثبات الوسط الحسابي E(X t ) = μ Var(X t ) = σ x 2 2( ثبات قيمة التباين k إمتالك السلسلتين إرتباط وتباين معتمد على اال ازحة k فقط حيث يعتمد على القيمه المطلقة ل )3 ( الطائي 2009 (. فقط k = 1,2,,m X t1, X t2,. X tn االستقرارية الضعيفة Stationary) (Weak إن مفهوم االستق اررية الضعيفة يسمح للتوزيع االحتمالي المشترك للمتغي ارت بالتغير لحد ما مع الزمن. ولكن يتطلب أن يكون الوسط والتباين ثابتين. كذلك يتطلب أن التغاير ) t+k Cov(X t, X دالة {X t } t لفت ارت اإلبطاء للفترة K فقط وال يعتمد على الزمن وكحالة خاصة يقال للسلسلة الزمنية بأنها مستقرة t. كما E(X t ) = μ من الرتبة األولى First-order Stationary إذا كانت كمية ثابتة غير معتمدة على Second order Stationary يقال للسلسلة الزمنية } t X} بأنها مستقرة من الرتبة الثانية إذا حققت الشروط اآلتية: (Priestley,1981).t حيث μ E(X t ) = μ كمية ثابتة ال تعتمد على.1.t حيث أن σ 2 كمية ثابتة ال تعتمد على الزمن Var(X t ) = σ x 2.2 دالة بداللة 1 t 2 t فقط. Cov(X t1, X t2 ) = y(t 2 t 1 ) عدم السكون حول الوسط mean) :)Non Stationary around the عدم تذبذب السلسلة الزمنية حول وسط ثابت يعني عدم سكون الوسط ويمكن إ ازلته بأخذ الفروق (differences) المناسبة وهذه الطريقة تعد من الطرق الكفؤة والسهلة وتتناسب مع نماذج السلسلة الزمنية: وتتلخص طريقة أخذ الفروق فيما يأتي: تؤخذ الفروق بين المدد المتعاقبة لتكوين سلسلة جديدة للوصول الى السكون. فروق السلسلة إذا أظهرت السلسلة المشاهدة y t اتجاها سواء كان محدد أو عشوائي- فإن أخذ فروق السلسلة األولى عادة ما ينجح في تحويل هذه السلسلة إلى سلسلة أخرى ساكنة. فإذا رمزنا للسلسلة الجديدة بالرمز z t فإن: z t = y t = y t y t 1, t = 2,3,., n حيث يرمز n إلى عدد المشاهدات المتاحة أو ما يعرف عادة بطول السلسلة أو مجا از بحجم العينة. 03

30 فإذا كانت مشاهدات السلسلة األصلية )غير الساكنة( هي y 1, y 2,. y n فإن أخذ الفروق األولى First difference لهذه السلسلة قد يتطلب إنشاء جدول كاآلتي )شع اروي 2005 (: جدول (1.2) الفروق األولى للسلسلة y t y 1 y 2 y 3 y t 1 - y 1 y 2 z t = y t y t 1 - z 2 = y 2 y 1 z 3 = y 3 y 2 y n y n 1 z n = y n y n 1 والجدير بالمالحظة هنا أن عدد مشاهدات السلسلة الجديدة z t واحدة عند أخذ الفروق األولى للسلسلة. قد تظل سلسلة الفروق األولى هو (1-n) فقط وليس n أننا نفقد مشاهدة z t غير ساكنة أيضا وفي هذه الحالة البد من أخذ الفروق الثانية 2 y t أو الفروق األولى للسلسلة z t أي. z t وهذا النوع من التحويالت مفيد في كثير من األحيان. وفي مثل هذه الحاالت قد يكون من المفيد عمل جدول كالتالي إليجاد الفروق الثانية w. t جدول (2.2) الفروق الثانية للسلسلة y t y 1 y t 1 - z t = y t y t 1 - z t 1 - W t = Z t Z t 1 - y 2 y 1 z 2 = y 2 y y 3 y 2 z 3 = y 3 y 2 z 2 z 3 w 3 = z 3 z 2 w 4 = z 4 z 3 y n y n 1 z n = y n y n 1 z n 1 w t = z n z n 1 04

31 وعدد مشاهدات السلسلة الجديدة w t األصلية هو (2-n) أي أننا نفقد مشاهدتين عند أخذ الفروق الثانية للسلسلة.y t في حالة عدم ثبات التباين: ان عدم تثبيت التباين تعتبر من المشاكل الرئيسية في عدم الحصول على نموذج دقيق وأخذ التحويالت )اللوغاريتم أو اخذ الجذر التربيعي. الخ( لبيانات السلسلة الزمنية تعالج ذلك )فاندل 1992(. وهنالك أربعة من التحويالت المتوفرة وبالتحديد لسلسلة موجبة وافرض أن Y t >0 )1 X t هي السلسلة المحولة وفيما يلي التحويالت)الطائي 2009 (: التحويل اللوغاريتمي X t = Ln(Y t ) )2 التحويل اللوجستي حيث ان X t = Ln(cY t /(1 cy t )) c = (1 e 6 )10 ceil(log10(max(yt) )3 هي السلسلة االصلية وان وان ceil(w) عدد صحيح وصغير أكبر من أو يساوي ((( t w=(log10(max(y تحويل الجذر التربيعي X t = y t y i λ 1 X t = ; λ 0 { λ )4 تحويل Box-Cox Ln y i ; λ = 0 حيث يتم تطبيق هذه التحويلة باستخدام قيمة لمعلمة التحويل λ عادة ما تكون بين ]2,2-[ فحص السكون: ولفحص فيما إذا كانت السلسلة ساكنة من عدمه نقوم باج ارء اختبار ديكي فولر الموضح في التالي: أ- إختبار Dickey and Fuller البسيط :(D.F) يعتمد اختبار (D.F) البسيط على ثالث معادالت بسيطة تفترض وجود سياق عشوائي من نمط انحدار ذاتي من المرتبة (1) هذه المعادالت هي )نقار 2311 (: I. X t = α 1 X t 1 + e 1 II. X t = α 0 + α 1 X t 1 + e 1 III. X t = α 0+ α 1 X t 1 + B 1 + e 1 إذ إن : 05

32 : معامل الفروق األولى أي t 1 X t = X t X :(White Noise Process( سياق الضجة البيضاء :e t الفرضية التي نختبرها 0 = 1 H 0 : α )وجود جذر وحدة أي عدم استق ارر(. ت قارن إحصائية االختبار مع القيم النظرية التي وضعها Dickey and Fuller في جدول. t = α 1 SE(α 1 ) إن اختبار Dicky and Fuller البسيط يقتصر على نماذج انحدار ذاتي من الرتبة األولى. وقد قام Dickey and Fuller بتوسيع االختبار إلى سياقات االنحدار الذاتي من رتبة أكبر من 1. ب- اختبار Augmented Dickey Fuller الموسع :(A.D.F) يعتمد االختبار على المعادالت الثالث اآلتية)نقار 2011 (: p I. X t = α 1 X t 1 + j=1 B j II. X t = α 0 + α 1 X t 1 + III. X t = α 0 + α 1 X t 1 + X t j + e t p j=1 B j p j=1 B j X t j + e t X t j + δt + e t حيث أن e: t سياق الضجة البيضاء. واالختبار الذي يتم هو نفسه في الفقرة السابقة: (0 = 1 H) 0 : α وجود جذر وحدة. هو االرتباط الذاتي (ACF)) (Autocorrelation Function توضح دالة االرتباط الذاتي االرتباطات الموجودة بين المشاهدات لفت ارت مختلفة. وتهتم بد ارسة العالقة الموجودة بين السلسلة لذاتها ونقصد هنا االرتباطات الداخلية للسلسلة الزمنية. مقياس يقيس قوة االرتباط بين مشاهدات المتغير نفسه عند فترة زمنية مختلفة أي الكشف عن االرتباطات الداخلية للسلسلة الزمنية حيث يمكن تمييز السالسل الزمنية الساكنة عن غير الساكنة من خالل قيم معامالت االرتباط الذاتي التي تعرف كاآلتي)أحمد 2012 (: ρ k = γ k γ 0 ±2 ±1, 0, = K التغاير عند الفجوة k التباين = Cov(y t, y t+k ) var(y t ) ويمكن حساب الصيغة أعاله من بيانات عينة على النحو التالي: 06

33 y k = n k i=1 (y t y ) n k ρ k حيث أن n: حجم العينة k: طول الفجوة الزمنية وتترواح قيمة معامل االرتباط بين من وتقترب الصفر بعد الفجوة السابعة أو الثامنة بالنسبة للسالسل الزمنية غير الساكنة. ولها الخواص التالية )بري 2002 (: I. ρ 0 = 1 II. ρ k = ρ k III. ρ k االرتباط الذاتي الجزئي Identification) )Partial Autocorrelation Function and φ kk تستخدم PACF كأداة أساسية في تحليل نماذج بوكس- جنكنز إلى جانب دالة االرتباط الذاتي ACF حيث تستخدم هاتان االداتان معا للتمييز بين نماذج ARIMA المختلفة. وتعطى معامالت االرتباط الذاتي الجزئي تك ارريا من العالقة )أحمد 2012 (: φ kk = ρ k 1 k j=1 φ k 1,j ρ k j 1 k 1, k = 2,3,. φ k 2,j ρ j j=1 φ kj = φ k 1.j φ kk φ k 1,k 1, j = 1,2,. k 1 * خصائص دالة االرتباط الذاتي الجزئي تتصف دالة االرتباط الذاتي الجزئي بعدة خصائص هامة نذكر منها ما يلي)شع اروي 2005 (: φ 00 قيمة معامل االرتباط الذاتي الجزئي عند الفجوة الزمنية صفر يساوي واحد أي أن = 1 00 φ ألي عملية ساكنة. تقع دائما على الفترة المغلقة ]1,1-[ معامل االرتباط الذاتي الجزئي عند الفجوة الزمنية األولى دائما يساوي معامل االرتباط الذاتي عند الفجوة الزمنية األولى أي أن (1)ρ φ 00 = وذلك لعدم وجود متغي ارت بين المتغيرين 1 t Y. t, Y

34 إذا كان = 0 kk φ فهذا يعني أنه ال توجد عالقة خطية جزئية بين أي متغيرين الفاصل الزمني بينهما K وحدة ولكن بالطبع قد توجد عالقة جزئية غير خطية بينهما نماذج بوكس-جينكنز لتحليل السالسل الزمنية Time) Box-Jenkins Approach in :)Series Analysis تعتبر مجموعة النماذج العامة للتنبؤ التي اكتشفها العالمان بوكس وجينكز Box and Jenkins في العام 1970 والتي يطلق عليها اسم "نماذج االنحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة المتكاملة " Auto-Regressive (ARIMA) "Integrated Moving Average أهم األساليب المستخدمة لبناء النماذج المختلفة في تحليل السالسل الزمنية هذه األساليب تعد امتدادا ألسلوب االنحدار وهي متعددة الجوانب وسيتم توضيح طريقة اختيار النموذج المالئم للبيانات فيما يلي وهناك ثالث فئات عامة من هذه النماذج ولتوضيحها سوف نستخدم الرموز التالية)عكاشة 2002 (: تشير إلى السلسلة الزمنية بوجه عام والى قيمة الظاهر في الفت ارت الزمنية t=1,2,.,m تشير إلى معالم عوامل االنحدار الذاتي AR :Y t :φ i MA تشير إلى معالم عوامل المتوسطات المتحركة θ: j t=1,2,,m تشير إلى األخطاء في الفت ارت الزمنية ϵ: t α: تشير إلى ثابت النموذج. وبالتالي يمكن توضيح فئات نماذج بوكس جينكز للسالسل الزمنية كما يلي: Y t نماذج االنحدار الذاتي :(Autoregressive) تمثل نموذج انحدار ذاتي (AR) Autoregressive Process حيث يعبر عن المتغير التابع كدالة في القيم الماضية لنفس المتغير التابع Y t i كاآلتي)الغنام 2333 (: Y t = α + φ 1 Y t 1 + φ 2 Y t φ ρ Y t ρ حيث تشير P إلى رتبة االنحدار الذاتي وهي عبارة عن عدد القيم الماضية المستخدمة أو بعبارة أخرى فت ارت التباطؤ فإذا كانت (1=p) يطلق على النموذج نموذج االنحدار الذاتي من الرتبة األولى (1) AR وهكذا. 08

35 مالحظات على عملية االنحدار الذاتي )شع اروي 2005 (: )1 تحقق هذه النماذج شروط االنعكاس دائما ألن عدد حدود π i غير الصفرية محدود حيث أن π 1 = φ 1 ; π 2 = φ 2 ; ; π p = φ p ; π 1 = 0, i > p ألي قيمة محدودة للرتبة p 2( هذه العمليات قد تكون ساكنة أو غير ساكنة ويعتمد سكون هذه العمليات على قيم المعالم φ 1, φ 2,, φ p إذا كانت 1 φ ال يمكن التعبير عن نماذج AR(1) باستخدام االضط اربات الهادئة فقط وبالتالي تكون غير ساكنة عمليات االنحدار الذاتي من الرتبة األولى تكون ساكنة إذا كانت < 1 φ. أي يمكن التعبير عنها بصيغة االضط اربات الهادئة والعكس صحيح تكون نماذج AR(2) ساكنة إذا أمكن التعبير عن المعلمتين 2, 1 φ 1 + φ 2 < 1 φ 2 φ 1 < 1 φ 2 < 1 مباشرة وهذه الشروط 3( التشابه بين سلوك دالتي االرتباط الذاتي في حالتي النماذج AR(1) و AR(2) ال يمكن عادة من التمييز بوضوح بين هذين النوعين من النماذج في التطبيقات العملية باالعتماد فقط على دالة االرتباط الذاتي 4( دالة االرتباط الجزئي لنماذج AR(2) جدا للتمييز بين نماذج AR(1) ونماذج.AR(2) تنقطع فجأة بعد الفجوة الزمنية الثانية. ولذلك فإن هذه الدالة هامة أما إذا كانت دالة االرتباط الجزئي تنقطع )تقريبا( بعد الفجوة الزمنية األولى فقط يكون هذا دليل على أن النموذج المناسب لهذه السلسلة هو نموذج AR(1) (MA) Moving Average حيث نماذج المتوسطات المتحركة Average) :(Moving أما المنهجية الثانية المستخدمة فهي عبارة عن نموذج المتوسط المتحرك يتم التعبير عن المتغير التابع Y t كدالة في قيم حد الخطأ السابقة. ترمز Y t = α + θ 1 ε t 1 + θ 2 ϵ t θ q ϵ t q ϵ t إلى حد الخطأ المتعلق ب Y t وتمثل q رتبة المتوسط المتحرك وتشير إلى عدد قيم حد الخطأ الماضية المستخدمة في النموذج. لذلك يطلق عليه نموذج متوسط متحرك من الرتبة q ويشار إليه بالرمز.MA(q) 09

36 .1 مالحظات على عملية المتوسطات المتحركة)شع اروي 2005 (: عمليات المتوسطات المتحركة دائما ساكنة MA(q) بغض النظر عن قيم المعالم θ 1, θ 2,, θ q.2 وذلك ألن عدد الحدود غير الصفرية محدود تكون نماذج المتوسطات المتحركة منعكسه )أي التعبير عن النماذج باستخدام ماضي أو تاريخ السلسلة θ 1, θ 2,, θ q أو غير منعكسة بناء على قيم المعالج y t 1, y t 2. 3 تكون النماذج MA(1) منعكسة إذا كانت < 1. θ.4 تكون نماذج شروط انعكاس النماذج MA(2) i. θ 1 + θ 2 < 1 ii. θ 2 + θ 1 < 1 iii. θ 1 < 1 q وبالتالي يكون لها دور هام في.5 دالة االرتباط الذاتي لنماذج MA(q) تنقطع فجأة بعد الفجوة الزمنية تحديد رتبة النموذج المالئم نماذج أرما المختلطة Model) (Mixed وإليجاد نموذج ARMA يتم دمج النموذجين السابقين AR(p) و Ma(q) لنحصل على)عكاشة 2002 (: حيث Y t = α + φy t 1 + φ 2 Y t φ p Y t p + ε t + θ 1 ε t 1 + θ 2 ε t θ q ε t q ARMA عبارة عن معامالت االنحدار الذاتي والمتوسط المتحرك على الترتيب. وبما أن θ i و φ i نموذج مركب الحتوائه على خصائص نموذج االنحدار الذاتي ونموذج المتوسط المتحرك لذلك يتصف برتبتين واحدة لالنحدار الذاتي (p) وأخرى للمتوسط المتحرك (q) ويكتب على النحو التالي: ARMA (p,q) وهذا النموذج يمكن تعميمه أيضا ليشمل أخذ الفروق Differencing لقيم السلسلة الزمنية للحصول على النموذج المختلط المتكامل ARIMA(p,d,q) حيث يشير الحرف I إلى التعبير المتكامل Integrated ويشير الدليل d إلى عدد م ارت أخذ الفروق من الدرجة األولى وعندما تكون 1=d فإنه يتم تنفيذ الفروق من الدرجة األولى وعندما تكون 2=d فإن عملية الفروق للقيم قد أجريت مرتين وهكذا... 21

37 3.2 األنظمة الديناميكية األنظمة الديناميكية: لكل نظام مدخالت ومخرجات حيث تمر المدخالت خالل عدة م ارحل لتصبح مخرجات ولكل مرحلة من م ارحل النظام الديناميكي دالة تحويل Function) (Transfer تمر بها المدخالت لنحصل النهاية على المخرجات والمخطط التالي يوضح هيكل النظام الديناميكي في جر اء تشغيل النظام )إيفان 2313 (: شكل (1.2( :هيكل النظام الديناميكي دالة التحويل U t Y t مخرجات مدخالت يوضح مخطط النظام الديناميكي إن تفاعل إشا ارت ملحوظة ذات فائدة تعرف بالمخرجات output ويرمز لها ب خارجية يعالجها المستخدم User تعرف بالمدخالت ويرمز لها ب y t u t مع إشا ارت أو مؤث ارت ومنها إشا ارت أخرى غير مسيطر عليها من قبل المستخدم تعرف باإلزعاجات noise ويرمز لها ب a t إن مجموع هذه اإلشا ارت تسمى بالنظام Transfer وان العالقة بين المدخالت واإلزعاجات تتحدد من قبل دالة تعرف بدالة التحويل system Function والتي تعكس شكل التغير الذي يط أر على المدخالت لتتحول إلى المخرجات وعملية الربط بين هذه اإلشا ارت يتم من خالل تشخيص النظام system Identification الذي يعد حقال متنوعا بط ارئق عديدة ويتعامل مع مشكلة بناء النماذج الرياضية لألنظمة الحركية Dynamic Systems والتي تبنى من خالل البيانات المشاهدة النظم الديناميكية الحركية الخطية التصادفية Dynamic) :(Stochastic Linear يتركب النموذج الخطي العام General Linear Model الذي تشتق منه كل النماذج الخطية Linear Models والذي غالبا ال يمكن تطبيقه عمليا ألنه يمثل الهيكلية الموحدة لألنظمة الخطية حيث يتم حساب 20

38 المخرجات y t له من خالل ترشيح المدخالت بمرشح خطي يرمز له G(q) والذي يسمى بالجزء المحدد ويسمى أيضا بدالة تحويل المدخالت Input Transfer Function فضال عن ترشيح التشويش األبيض الذي يرمز بمرشح خطي آخر يرمز له ب H(q) ويسمى بدالة تحويل التشويش Noise Transfer Function ويسمى بالجزء التصادفي عليه يمكن تمثيل النموذج الخطي العام بالج أزين المحدد والتصادفي بالشكل اآلتي( Nelles,2001 ): y t = G(q)u t + H(q)e t e t ويمكن تمثيل هذا النموذج من خالل متعددات الحدود وهي ت اركيب خطية Linear Combination اآلتي: بالشكل y t = F(q), D(q), C(q), B(q), A(q) B(q) F(q)A(q) u t + c(q) D(q)A(q) e t A(q) = 1 + a 1 q 1 + a 2 q a na q na B(q) = b 1 q 1 + b 2 q b nb q nb C(q) = 1 + c 1 q 1 + c 2 q c nc q nc D(q) = 1 + d 1 q 1 + d 2 q d nd q nd F(q) = 1 + f 1 q 1 + f 2 q f nf q nf nf, nd, nc, nb, na حيث أن: وان كل من وان يمثل معامالت اإل ازحة الخلفي تمثل معلمات الحدود وعلى التوالي Backword Shift بمعنى: q 1 u t = u t 1 q 2 u t = q(qu t ) = q(u t 1 ) = (u t 2 ) نماذج دالة التحويل: )الصندوق األسود( Models) )Transfer Function q يعد تطوير النماذج الرياضية أول خطوة في عملية التصميم وقد أشار إن الخطوة الحاسمة في عملية تصميم النظام هو تطوير نموذج رياضي كمي للنظام الم ارد السيطرة عليه إن االهتمام بالنماذج من الجانب اإلحصائي ينصب بالدرجة األساسية على نماذج دالة التحويل)مطر 2336 ( أو ما يسمى بالنماذج الخارجية External Model ألنها تهتم بوصف سلوك المدخالت والمخرجات. وتتوافر عدة نماذج لدالة التحويل يطلق عليها تسمية نماذج الصندوق األسود. 22

39 تقسم نماذج النظم الحركية الخطية التصادفية إلى مجموعتين: المجموعة األولى: نماذج خطأ المعادلة Models) )Equation Error تضم نموذج االنحدار الذاتي مع مدخالت إضافية ARX مدخالت إن إضافية ARMAX تتميز هذه النماذج بوجود المرشح الخطي ونموذج االنحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة مع 1/A(q) في دالة تحويل المدخالت ودالة تحويل التشويش كمقام حركي لهذه الدوال أي أن التشويش في هذه النماذج يؤثر تأثي ار مباش ار على مخرجات النموذج ويمكن تمثيل نموذج ARX بالمعادلة اآلتية: النموذج الخطي العام يمكن إضافتها لوصف خطأ عن: y t = B(q) A(q) u t + 1 A(q) e t يحتاج إلى بعض المرونة لوصف خواص اإلزعاج Disturbance المرونة هذه المعادلة كمتوسط متحرك للتشويش األبيض بمعنى أن دالة التحويل للتشويش تصبح أكثر مرونة الحتوائها على متعدد حدود متوسطات متحركة بالتعويض في معادلة النموذج الخطي العام G(q) = B(q) A(q), H(q) = C(q) A(q) نحصل على الصيغة األكثر عمومية لنموذج ARMAX )مطر 2006 حياوي 2312 (: y t = B(q) A(q) u t + C(q) A(q) e t A(q)y t = B(q)u t nk + C(q)e t حيث ان nk زمن التأخير. يسمى النموذج السابق بنموذج اإلنحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة بمتغي ارت خارجية المنشأ Auto ARIMAX ويرمز لهذا النموذج ب Regressive Moving Average Exogenous Variable المجموعة الثانية: نماذج خطأ المخرجات Model) ): Output Error تضم نموذج بوكس-جنكنز ويرمز له ب B.J. ونموذج خطأ المخرجات ويرمز له OE وتتميز هذه النماذج من خالل نماذج التشويش التي ال تضم عملية حركية أي أن دالة تحويل المدخالت مستقلة تماما عن دالة تحويل التشويش 23

40 حياوي 2012(: ويمكن تمثيل نموذج خطأ المخرجات بالمعادلة اآلتية )الطالب 2012 y t = B(q) F(q) u t + e t ويكون هذا النموذج واسع االستخدام ومن السهولة تمثيله وغالبا ما يكون أكثر واقعية الن دالة التحويل التشويش ال تتضمن المرشح.1/A(q) أما نموذج بوكس-جنكنز فيمكن تمثيله بالشكل اآلتي: y t = B(q) F(q) u t + C(q) D(q) e t وحيث أن نموذج أرماكس ARMAX هو األكثر عمومية من بين هذه النماذج فإنه يمكن الحصول على حاالت خاصة عديده منه حيث يمكن تمثيله بالمعادلة التالية )مطر وحسين 2006 (: y t = B(q) A(q) u t + C(q) A(q) e t نحصل على نموذج االستجابة النبضية المحدود Finite Impulse Response الذي يرمز له بالرمز C(q) 1, A(q) أي إن 1 عندما na=nc=0 FIR أ- y t = B(q)u t nk + e t :ARX C(Z) 1 عندما ب- nc=0 أي نحصل على نموذج ت- A(q)y t = B(q)u t nk + e t إذا لم تكن هناك قنوات مدخالت بل قناة مخرجات فقط أي أن = 0 nb (B(q),(1 فسوف نحصل على نموذج االنحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة :ARMA(p,q) A(q)y t = C(q)e t حيث إن na nc رتب النموذج. واذا قيدت (q) A لكي تضم العامل (q -1) فان النموذج يسمى نموذج االنحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة المتكاملة Auto Regressive Integrated Moving Average.ARIMA (p,d,q) الذي يرمز له بالرمز ث- نحصل على نموذج سلسلة زمنية نقية بمعنى Pure Time Series أنه ال يوجد إشارة مدخالت حاليا ومن ثم فان: y t = C(q)e t 24

41 4.2 طرق التنبؤ بالسالسل الزمنية: يمكن تجميع ط ارئق التنبؤ في أسلوبين أساسين )فاندل 1983 ;البد ارني 2013 ( أولهما نماذج السالسل الزمنية (ARIMA) أحادية المتغير ويعتمد هذا النموذج على تحليل البيانات التاريخية التي يتم اخذها عن الظاهرة أو المتغير قيد الد ارسة بفرض تحديد نمط البيانات وبعد ذلك افت ارض أن هذا النمط سيستمر في المستقبل إلعطاء التنبؤات المطلوبة دون ان تستعمل حزمة المعلومات المتوافرة لسالسل زمنية أخرى مرتبطة بها أما النموذج الثاني فيستخدم متغي ارت أخرى لوصف سلوك السلسلة (2006 (Wei, أي ان السلسلة لن تتأثر بقيم ماضيها فحسب بل تتأثر بقيم حاضر وماضي سلسلة زمنية أخرى ومثل هكذا نماذج تسمى نماذج سالسل زمنية متعددة المتغي ارت Models) (Multivariate Time Series حيث انها تجمع بين خصائص المنفردة وخصائص االنحدار المتعدد Regression) (Multivariate ويسمى النموذج الذي ARIMA يصف العالقة الديناميكية الفعالة بين هذه المتغي ارت بنموذج دالة التحويل Model) (Transfer Function أو نموذج.ARMAX ويتم التعبير نموذج أريما: ARIMA model كما أوضحنا سابقا أن نموذج أريما هو خليط بين نماذج االنحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة عنه بالمعادلة التالية: y t φ 1 y t 1 φ 2 y t 2.. φ p y t p = ε t θ 1 ε t 1 θ 2 ε t 2 θ q ε t q ويمكن كتابة هذه العمليات باستخدام عامل اإل ازحة للخلف كما يلي { φ(b)y t = θ(β)ε t φ p (B) = θ(b)ε t } حيث φ(b) كثيرة حدود من الدرجة P نأخذ الصورة φ(b) = 1 φ 1 B φ 2 B 2. φ p B p و θ(b) كثيرة حدود من الدرجة q وتأخذ الصورة θ(b) = 1 θ 1 B θ 2 B 2 θ q B q 25

42 يعتبر العالمان.G Box.G Jenkins هما أول من قدما هذا األسلوب في كتابهما الشهير: Times Series Analysis Forecasting and control عام.6771 وقد بينا في هذا الكتاب طريقة التطبيق العملي لهذه النماذج في مختلف المجاالت االقتصادية وغير االقتصادية حيث يمر بأربعة م ارحل أساسية: المرحلة األولى: تحديد النموذج Identification( )Model بقصد به تحديد رتبة كل من نموذج االنحدار الذاتي AR(P) ورتبة نموذج المتوسطات المتحركة (ARIMA) باعتبارهما النموذجين اللذين يتكون منهما نموذج MA(Q) )1 المرحلة الثانية: التقدير Fitting( )Model حيث يتم تقدير المعلمات الخاصة بالنموذج المقترح في الخطوة السابقة وتحديد هذه المعلمات باستخدام إحدى طرق التقدير اآلتية: طريقة المربعات الصغرى الخطية سواء الشرطية أو غير الشرطية طريق المربعات الصغرى غير الخطية طريق اإلمكان األعظم. )2 المرحلة الثالثة: التشخيص Diagnostic( )Model حيث يتم فيه اختبار جودة النموذج )3 4( المرحلة الرابعة: التنبؤ )Forecasting( تمثل هذه المرحلة التطبيقية العملية للنموذج المقترح حيث يتم الحصول على القيم المتوقعة للظاهرة محل الد ارسة )سليمان 2010( المرشح الخطي: filter) (The linear y t المرشح الخطي يصف العملية حيث سلسلة زمنية وحيدة المتغير X t تحول إلى سلسلة زمنية أخرى Y t = ψ i i=0 X t i :(Montgomery et al.,2008) يكون المرشح خطيا إذا كان لها الخصائص التالية,1-,1,0, =t تكون مثال المعامالت { ال تعتمد على الزمن ψ i } Time invariant 26

43 i < 0 تكون Causal إذا كان = ψ i 0 حيث مثال/ realizable y t بسبب physically تكون realizable تعتمد فقط على القيم الحالة والماضية ل i= {ψ i } < stable X t تكون مستقرة مثال/ إذا كانت finite مجموع المعامالت محدود bounded ومن ثم )منتهية( ويمكن وصف حدود المرشح الخطي باستخدام عامل اإل ازحة الخلفي + حيث: y t = ψ i X t i = ψ(b)x t i= ψ(b) = i= حيث ψ i B i تسمى دالة التحويل نموذج دالة التحويل أرما: function) (The ARMA Transfer نموذج (p,q) ARMA في صيغة كثيرة حدود يكون على الشكل التالي( Bettinger,2012 ): (1 φ 1 B φ 2 B 2. φ p B p )y t = (1 θ 1 B θ 2 B 2 θ q B q )ε t حيث بمتوسط صفر وتباين σ 2 يعرف حدود الخطأ أو الضجة )اإلزعاج( ε t ~N(0, σ 2 ) φ(b)y t = θ(b)ε t y t = θ(b) φ(b) ε t وباستخدام معامل اإل ازحة الخلفي يمكن كتابة النموذج حيث يتم وصف متغير االستجابة كقسمة بسط كثيرة الحدود AR ومقام كثير الحدود MA y t كثيرة الحدود النسبية تسمى دالة التحويل. θ(b) φ(b) حيث تصف العالقة بين متغير االستجابة وقيم الفجوات المتأخرة ل y t وقيم الفجوات المتأخرة لحدود y t. اإلزعاج أو الخطأ ε t 27

44 م ازيا وصف نموذج (p,q) ARMA كدالة تحويل: النسبة بين كثيرة الحدود للبسط والمقام للرتب p q& تكون رتب محدودة تقريبا للنسبة بين رتب كثيرتي حدود غير محدودة. النسبة بين كثيرتي حدود تتطلب تقدير معامالت أقل من كثيرة حدود نقية )مثل نموذج.)MA طول السلسلة الزمنية في اإلنحدار الديناميكي يتجنب تقدير عدد كبير من المعامالت تقلل نهاية )limitation( البيانات المحدودة نموذج االنحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة مع متغيرات خارجية Autoregressive Moving Average with Exogenous Variable (ARIMAX) نموذج أريماكس-دالة التحويل) )Transfer function ARIMAX Model نموذج أريماكس المتعدد يصف سلسلة المخرجات )المتغير التابع( الظاهرة الم ارد التنبؤ بها y t من خالل دمج نموذج أريما الوحيد وسالسل المدخالت الخارجية ذات الصلة } t { X العالقة بين سلسلة المخرجات وسلسلة المدخالت توصف باستخدام دالة التحويل function) :(Bettinger, (2012 (Transfer (1 φ 1 B φ 2 B 2 φ p B p ) m (Y t i=0 w i X t i ) =(1 θ 1 B θ 2 B 2 θ q B q )ε t m أو باستخدام معامل اإل ازحة الخلفي φ(b) (Y t w i X t i ) = θ(b)ε t i=0 أو يصبح Y t = X t w + θ(b) φ(b) ε t حيث X t = [x t, x t 1, x t 2,..., x t m ] 28

45 واذا افترضنا في المعادلة السابقة أنه تم إج ارء أي فروق مطلوبة وأي تحويالت مطلوبة على السالسل Y t X t لجعلها مستقرة من حيث المتوسط والتباين حيث يرمز للسالسل بعد التعديل ب y t x t الصيغة بحيث تتطلب عددا أقل من المعلمات الخاصة يصبح نموذج :ARIMAX بالترتيب تم وضع y t = ω(b) S(B) Bb x t + θ(b) φ(b) a t y t = ω(b) S(B) Bb x t + n t او حيث: Y: t سلسلة المخرجات. x: t المتغي ارت المستقلة )سلسلة المدخالت(. ω(b) S(B) : Bb دالة التحويل لسلسلة المدخالت. الضجة البيضاء االزعاجات العشوائية : a t :n t معامل b: التخلف )التأخير( حيث 2012) Selvia, :(Wei, 2006; Lee, 2010; Peter and ω(b) = ω 0 ω 1 B. ω s B s S(B) = 1 S 1 B.. S r B r θ(b) = 1 θ 1 B θ q B q φ(b) = 1 φ 1 B φ p B p 29

46 المعلمات أما q, p, s, r, b فتفسر كما يلي: b: تعني أن التأخير delay )الزمن الميت( أو الفترة )عدد الوحدات الزمنية( قبل أن تبدأ X في التأثير على y t+b وحدة زمنية وعلى هذا فإن تأثيرها األول سيكون على b هو y y t b و وتؤثر أوال على وهكذا y t y t r,., y t 2, y t 1 y t r y تعني أن r: تتأثر بقيمتها السابقة حتى إبطاء تتأثر ب أي y t S y X تعني أن القيمة الجديدة ل S: ستستمر في التأثير على لعدد من الفت ارت الزمنية. أو بمعنى أخر X t b تتأثر بالقيم من X t b s وحتى q: رتبة المتوسط المتحرك P: رتبة االنحدار الذاتي n t φ(b) نالحظ أن θ(b) و مشغال المتوسط المتحرك واالنحدار الذاتي المطلوبين لتخليص هاتين من أثر. العمليتين لتبقى فقط الضجة البيضاء a t ودالة التحويل التي تأخذ شكل نسبي نرمز لها بالرمز( V(B حيث لها دور هام في تحديد العالقة ω(b) S(B) Bb بين السلسلتين الزمنيتين صيغة أخرى: هذه الصيغة مفيدة في توضيح فكرة دالة التحويل وتأخذ الشكل التالي )البد ارني والحيالي 2013 ; حياوي ومحمد ; Selvia, (Wei, 2006 ; Peter and Y t = V 0 x t + V 1 x t V k x t k + N t = (V 0 + V 1 B + + V k B k )X t + N t = v(b)x t + N t حيث: Y: t سلسلة المخرجات X: t سلسلة المدخل 31

47 : N t الضجة K: رتبة الدالة التحويلية, 2 :V 1, V أو ازن الدالة التحويلية - حيث تشير( V(B إلى دالة التحويل الخاصة نماذج بوكس جينكز حيث أن V(B) = Vj Bj i=0 N t X t إن بوكس جينكز قاموا بتسمية النموذج السابق بنموذج دالة التحويل ألن السالسل تتبع بعض خصائص نماذج. ARIMA Y t وهناك بعض الصعوبات الموجودة في نموذج دالة التحويل وهي أن المعلومات الموجودة ب X t هي و محدودة ونهائية ولكن دالة التحويل V(B) ربما تحتوي على عدد غير محدود من المعلمات. 5.2 أو ازن دالة التحويل )دالة االستجابة النبضة( function) )Impulse Response يمكن كتابة أو تمثيل دالة التحويل حيث: W(B) S(B) Bb بحيث يمكن أن تقدم كدالة استجابة النبضة لدالة التحويل: W(B) S(B) Bb = ( V i B j ) = V 0 B b + V 1 B b+1 + V 2 B b+2 +. i=0 هو i th V: i هو وزن دالة استجابة النبضة الموضحة في المثال 30

48 شكل (2.2): أو ازن دالة االستجابة النبضية الشكل التالي: يوضح آلية عمل دالة التحويل في التنبؤ بسلسلة المتغير التابع عن طريق y t الربط بين (3.2) وسلسلة المتغير المستقل x t باستخدام أو ازن دالة التحويل. االزعاجات n t 32

49 شكل (3.2(: نظام دالة التحويل دالة ( v(bالتحويل المثال التالي: يوضح نظام نموذج ARIMAX سلسلة المدخالت توزن باستخدام دالة التحويل لتوضيح سلسلة المخرجات )المتحرى عنها( الجزء المشروح غير y t W(B) S(B) Bb X t يعتبر كسلسلة جديدة تبيض باستخدام نموذج أريما :(Lee,2010) 33

50 شكل (4.2): نظام نموذج ARIMAX θ(b) φ(b) Arima model القيم V 0, V 1, V 2,.., V k تعرف على أنها أو ازن االستجابة النبضية (Impulse response X t لسلسلة االدخال (LTF weights) أو أو ازن دالة التحويل الخطي weights) الذي يحدث على نتيجة لتغير y t X t V 0 بوحدة واحدة. وتمثل هذه األو ازن األثر وهذه األو ازن تزودنا بمقياس لكيفية تأثير سلسلة االدخال في سلسلة اإلخ ارج ويرتبط الوزن بالتأخير الزمني Time) (Delay بمعنى أن المدخالت و واحد مضت و V 2 V 1 مقياس لكيفية تأثير االستجابة الحالية لسلسلة المخرجات بالقيمة الحالية لسلسلة مقياس لكيفية تأثير االستجابة الحالية لسلسلة المخرجات بقيمة سلسلة المدخالت لفترة زمنية مقباس لكيفية تأثير االستجابة الحالية لسلسلة المخرجات بقيمة سلسلة المدخالت لفترتين زمنيتين مضتا... الخ. إن نموذج دالة التحويل يسمى بالنموذج الثابت إذا كانت سلسلة أو ازن االستجابة النبضية قابلة للجمع المطلق wei,2006( ; سيد أحمد :)2015 V k < n=0 34

51 k < 0 V k = 0 ونموذج دالة التحويل يسمى بالنموذج السببي (causul) إذا كانت لجميع قيم وعليه فإن النظام ال يستجيب لسلسلة المدخالت حتى يتم تطبيقها على النظام فعليا دالة االرتباط التقاطعي )المضاعف(( Function (Cross-Correlation ARIMA 6.2 في نماذج النموذج وفي نماذج دالة التحويل حيث يقيس االرتباط بين المنفردة يعتبر معامل االرتباط الذاتي المفتاح الرئيسي ألنه يساعد في تحديد شكل قيم السلسلتين يؤدي االرتباط الذاتي ا دور ثانويا بينما يؤدي االرتباط المضاعف دو ار رئيسيا الزمنيتين وعليه فإن الصيغة العامة لحساب مقدار االرتباط المتقاطع :(Makridakis et al.,1998 هي )البد ارني والحيالي 2013; r xy (k) = r xy (k) = n+k t=1 (X t k x )(y t y ) n t=1 (X t x ) 2 n t=1(y t y ) 2 n k t=1 (X t x )(y t+k y ) n t=1 (X t x ) 2 n t=1(y t y ) 2 K 0 K 0 X t إذا كان لدينا سلسلة المخرج y t وسلسلة المدخل حيث أن.. ±3, ±2, ±1, 0, = t المقطعي Covariance) (Cross بين y, x بإبطاء K ويرمز له بالرمز (k) C xy هو فإن التغاير : (Montgomery et al., 2008; Bettinger, 2012) C xy (k) = E[(X t m x )(y t+k m y )] k = 0, ±1, ±2,. m x = E(x t ) m y = E(y t ) فإن االرتباط التقاطعي هو C xy ρ xy = σ x σ y 35

52 حيث: االرتباط التقاطعي التغاير التقاطعي :ρ xy :C xy y,x االنح ارفات المعيارية للسلسلتين :σ x σ y (Lee, 2010) 7.2 العالقة بين نموذج دالة التحويل ودالة االرتباط التقاطعي: يمكن كتابة نموذج دالة التحويل عند الزمن (t+k) بالصيغة التالية Y t+k = v 0 x t+k + v 1 x t+k 1 + v 2 x t+k n t+k بوضع = 0 y m x = 0, m ويضرب x t في طرفي المعادلة السابقة وبعد أخذ التوقع يصبح لدينا: C xy (K) = V 0 C xy (K) + V 1 C xx (k 1) + ويوضع = 0 (K) C xn لكل قيم K يصبح لدينا: ρ xy (k) = σ x σ y [v 0 ρ x (k) + v 1 ρ x (k 1) + v 2 ρ x (k 2)] + سلسلة المدخل هي ضوضاء بيضاء ρ x (k) = 0 for k 0 إذا كانت :(Wei, 2006) عليه فإن أو ازن الدالة تعطى التحويلية بالصيغة التالية V k = ρ xy(k)σ y σ x ح ث:ي V: k أو ازن الدالة التحويلية x, y االرتباط التقاطعي بين للسلسلتين :ρ xy (k) x,y ارفات المعيارية للسلسلتين σ :اإلنح y σ x إذن فإن دالة االستجابة النبضية تتناسب مع دالة االرتباط التقاطعي في نموذج دالة التحويل 36

53 8.2 عملية التبييض: (Prewhitening) تفترض أن X t يمكن أن تنمدج كعملية ARMA ومن ثم φ x (B)X t = θ x (B)n t σ 2 0 حيث n t تتبع ب )~ 2 N(0, σ بمتوسط وتباين n t = θ x (B) 1 φ x (B)X t حيث تم وصف الضجة كدالة مرشح خطي أضيفت لسلسلة المتغي ارت الخارجية الداخلة. مرشح التبيض المصمم بشكل صحيح (B) θ x (B) 1 φ x يخفض ويختزل X t لسلسلة ضجة بيضاء في حالة وجود سالسل مدخالت خارجية متعددة سلسلة يجب أن يتم عملية تبيضها بشكل مستقل عن األخرى :)Bettinger, 2012) X t تبيض السلسلة X t يقصد به بناء نموذج أريما يمثلها وتطبيقه على وذلك كاآلتي نفترض أن لدينا سلسلة المدخل X t ونموذج ARIMA لها كالتالي: φ x (B)X t = θ x (B)α t حيث أن α t ضجة بيضاء إذن: α t = φ x(b) θ x (B) X t تسمى سلسلة المدخل X t بالسلسلة المبيضة كذلك سوف يتم تبيض سلسلة المخرج y t بنفس الطريقة وكما يلي )سيد أحمد 2015(: B t = φ x(b) θ x (B) X t الهدف من ذلك التبيض هو تنقية السالسل الزمنية y t X t بإ ازلة أي نمط معروف ناتج عن عملية اإلنحدار ذاتي أو متوسط متحرك فال تبقى فيها سوى ضجة بيضاء هي.B t α t B t, وستكون العالقة بين α t خالية من تأثي ارت عمليات االنحدار الذاتي والمتوسط المتحرك. 37

54 y t حيث يمكن إعتبار نموذج أرما للمعادلة ضجة بيضاء } t :)Lee,2010( {e كمرشح خطي سلسلة مستقرة مبيضة إلى سلسلة y t = θ(b) φ(b) ε t شكل (5.2): مرشح ARMA التنبؤ بخطوة واحدة إلى األمام إذا تم استخدام نموذج ARIMAX للتنبؤ بخطوة واحدة لألمام كما في المعادلة التالية تأثير التأخير e t+1 b لكل من المتغي ارت الداخلة } i X} يجب أن يكون 1 التنبؤ بمتوسط مربعات األخطاء الصغرى يمكن الحصول عليه إذا افترضنا تكون صفر 9.2 y t+1 = W(B) S(B) Bb X t+1 + θ(b) φ(b) a t = ( v i B) B b X t+1 + ( Q i B i ) e t+1 i=0 i=1 المثال التالي يوضح مفهوم التنبؤ بنماذج السالسل الزمنية..{e} السلسلة المتحرى عنها } y { تبيض باستخدام نموذج مالئم ومناسب لتكوين سلسلة ضجة بيضاء (σ) t+1 e القيمة يتنبأ بها كقيمة متوقعة مساوية للصفر يتوقع أن تزود بدقة تنبأ أكثر. ومن ثم سلسلة مبيضة بانح ارف معياري أصغر 38

55 Y شكل (6.2(: تبييض سلسلة لتكون ضجة {e} 39

56 10.2 م ارحل بناء نموذج دالة التحويل )بناء نموذج )ARMAX يمكن استخدام نموذج ARMA لتمثيل عملية استق ارر متغير االستجابة y t Y t إذا اعتمدت العملية على مدخالت خارجية نموذج أرما يمكن أن يتوسع ليشمل المتغي ارت الخارجية باستخدام دالة التحويل. هذه النماذج تسمى نماذج ARMAX ويمكن بنائها باستخدام منهجية بوكس وجينكز حيث تمر بعدة خطوات أو م ارحل لكي يصبح النموذج في النهاية جاه از لإلستخدام والتطبيق وهذه الخطوات بشكل عام هي )حياوي ومحمد 2012(: 1( مرحلة التعرف على النموذج.)Identification( 2( مرحلة التقدير.)Estimation( 3( مرحلة الفحوص التشخيصية Checking( )Diagnostic 4( مرحلة التنبؤ.)Prediction( حيث من الواجب اجتياز الخطوات جميعها لكي يتحول النموذج التجريبي إلى النموذج النهائي الجاهز الستخدامه تطبيقيا في التنبؤ حيث يتم اختيار النموذج األفضل بناء على جودته ومالئمته للمعايير اإلحصائية. يوجد خطوة إضافية )Lee,2010( إل ازلة االرتباط بين المتغي ارت الخارجية هذه الخطوة والتي تسمى بالتبيض وتكون مهمة عندما تكون المتغي ارت الخارجية مرتبطة وبسبب المتغي ارت الخارجية سالسل زمنية في داخلها. CCF االرتباط التقاطعي لمتغير االستجابة والمتغي ارت الخارجية يصبح مرتبك بالتركيب المتأخر للمتنبآت الخارجية. السالسل الخارجية تحول إلى ضجة بيضاء إل ازلة الت اربط ومن ثم CCF تحسب ليظهر التركيب المتأخر ل كدالة مبيضة ل. X t الم ارحل بالتفصيل Y t فإذا كانت كل من سلسلة المدخل X t وسلسلة المخرج بشكلها الخام فإن خطوات بناء نموذج الدالة التحويلية يمكن تلخيصها في الخطوات التالية التعرف على النموذج من خالل : أ- تجهيز سلسلة المدخل X t والمخرج Y: t إن أولى الخطوات معرفة إذا كانت كل من سلسلة اإلدخال واإلخ ارج ساكنة أم ال في التباين والوسط حيث أن االستق اررية تؤدي دور مهما في بناء نموذج دالة التحويل ويتم ذلك من خالل الرسم الزمني لمعرفة االتجاه العام )البد ارني والحيالي 2013 ; بري 2002 (وكذلك رسم لكل من دالة االرتباط الذاتي ودالة االرتباط الذاتي الجزئي وتتم إ ازلة عدم االستق اررية في المتوسط من خالل أخذ العدد المناسب من الفروق حتى تصبح مستقرة أما إذا 41

57 كانت غير مستقرة في التباين فيتم إج ارء أحد التحويالت المناسبة عليها لجعلها مستقرة في إ ازلة أي تأثير موسمي مرجح من السلسلتين إن وجد. التباين. وكذلك تتم α t X t ب- إجراء تبيض مسبق Prewhitening لكل من سلسلة المدخل وسلسلة المخرج: تبييض السلسلة يقصد به بناء نموذج أريما يمثلها وتطبيقه على للحصول سلسلة البواقي كاآلتي نفترض أن لدينا سلسلة المدخل وذلك X t X t ونموذج ARIMA لها كالتالي )سيد أحمد 2015(: Y t φ x (B)x t = θ x (B)x t حيث أن α t ضجة بيضاء إذن: α t = φ x(β) θ x (β) X t تسمى سلسلة المدخل بالسلسلة المبيضة كذلك سوف يتم تبيض سلسلة المخرج α t بنفس الطريقة وكما يلي: β t = φ x(β) θ x (β) X t الهدف من ذلك التبيض هو تنقية السالسل الزمنية X t Y t بإ ازلة أي نمط معروف ناتج عن عملية انحدار ذاتي أو متوسط متحرك فال تبقى فيها سوى ضحة بيضاء هي β t α t وستكون العالقة بين من تأثي ارت عمليات االنحدار الذاتي والمتوسط المتحرك. t β خالية α t ت- حساب االرتباطات التقاطعية: β t في هذه الخطوة نحسب االرتباطات التقاطعية بين سلسلة المدخل α t وسلسلة المخرج بإبطاءات مختلفة بين β t α t يعطى بالصيغة التالية ρ αt,bt = C αt βt σ αt σ βt حيث: β t و α t االرتباط التقاطعي بين السلسلتين :ρ αt,βt β t و α t التغاير التقاطعي بين :C αt βt β t و α t االنح ارفات المعيارية للسلسلتين :σ αt, σ βt 40

58 . β t t ويعطى في الواقع االرتباط بين قيم α t في الزمن وقيم التي تبعد عنها زمنيا ب k وحدة من الزمن 1 n. إذا كان السلسلتان ضجة بيضاء فإن االرتباط المقطعي سيكون متوسطه صفر وتباينه اكانت إحداهما فقط ضجة بيضاء فإن الخطأ المعياري لإلرتباط المقطعي بإبطاء K يكون تقريبا. أما إذا 1 n k t+k ث- تقدير مباشر ألوزان الدالة التحويلية:. يقصد باألو ازن هنا v 1, v 2,. v t 0=b( كالتالي يمكن كتابة النموذج x,y,n بداللة السالسل التي أجريت عليها الفروق لجعلها مستقرة )بافت ارض )سيد أحمد ;, Lee ) Wei, 2006 ; y t = v(b)x t + n t φ x (β) θ x (β) إذا قمنا بتبيض السالسل الثالث باستخدام التحويلة أي وضعنا: φ x (β) θ x (β) y t = v(β) φ x(β) θ x (β) x t + φ x(β) θ x (β) n t β t = v(β)α t + a t نحصل على: بضرب الطرفين في α t k وأخذ التوقع يصبح لدينا كالتالي: E(α t k β t ) = v 0 E(α t k α t ) + v 1 E(α t k α t 1 ) + + v k E(α t k α t k ) + E(α t k a t ) وبما أن الضجة a يفترض أنها مستقلة عن α وبما أن α ' s مستقلة عن بعضها البعض فإن جميع الحدود في الطرف األيمن ستكون أصفا ار ما عدا الحد قبل األخير حيث يساوي تباين a مضروبا في v. k v k = C αβ(k) σ α 2 أما الطرف األيسر فهو التغاير المقطعي وبالتالي: = C αβ(k)σ β σ β σ α σ α v k = ρ αβ(k)σ β σ α 42

59 حيث: v: k أو ازن الدالة التحويلية..β t α t االرتباط التقاطعي بين السلسلتين و :ρ αβ (K) للسلسلة.α t للسلسلة.β t االنح ارف المعياري االنح ارف المعياري :σ β :σ α β t α t وبالتالي يمكن تقدير الوزن ذو الرتبة k بضرب مقدار االرتباط المقطعي بين و في االنح ارف المعياري.α t للسلسلة β t والقسمة على االنح ارف المعياري للسلسلة تحديد القيم ج- r,s,b لنموذج الدالة التحويلية: إن تحديد القيم r,s,b ليس سهال ولكن يمكن اإلستهداء ببعض القواعد عند تحديد هذه القيم وهي )سيد أحمد :(wei,2006; لتحديد القيمة b )الزمن الميت( ننظر إلى قيم أو ازن الدالة التحويلية التي تحسب من المعادلة في الخطوة السابقة حيث أن b تساوي عدد األو ازن التي تساوي صف ار بعد الوزن v. 0 - نفحص االرتباطات الذاتية المقطعية : ρ 1- فإذا كانت االرتباطات المقطعية غير المعنوية حتى اإلبطاء m حيث أصبحت معنوية نأخذ.b=m 2- إذا لم يكن هناك نمطا معينا لالرتباطات المقطعية بعد اإلبطاء m وحتى اإلبطاء m+a نضع.s=a 3- إذا ظهر نمط محدد بعد m+a وحتى m+a+c نضع.r=c إن تطبيق هذه القاعدة ال يتوقع أن يكون سهال أو واضحا فإذا تعذر تحديد القيم يمكن تجربة عدة مجموعات من القيم واختيار المجموعة التي تعطي أقل خطأ وفق معيار مناسب مثال متوسط مربعات الخطأ. بافت ارض أنه تم تحديد هذه القيم وكانت قيمة 0=r فإن صيغة وشكل نموذج الدالة التحويلية ستكون كما يلي 43

60 r = 0 جدول (3.2): صيغ وأشكال نموذج الدالة التحويلية عندما القيم (b=2,r=0,s=0) (b=2,r=0,s=1) (b=2,r=0,s=2) صيغة نموذج الدالة التحويلية شكل نموذج الدالة التحويلية v(β)x t = ω 0 x t 2 v(β)x t = (ω 0 ω 1 β)x t 2 v(β)x t = (ω 0 ω 1 β ω 2 β 2 )x t 2 r=1 جدول (4.2): صيغ وأشكال نموذج الدالة التحويلية عندما القيم (b=2,r=1,s=0) (b=2,r=1,s=1) (b=2,r=1,s=2) صيغة نموذج الدالة التحويلية شكل نموذج الدالة التحويلية v(β) = ω 0 (1 δ 1 β) x t 2 v(β) = (ω 0 ω 1 β) (1 δ 1 β) x t 2 v(β) = (ω 0 ω 1 β ω 2 β 2 ) x (1 δ 1 β) t 2 ح- تقدير مبدئي للضجة )نموذج ARMA لسلسلة الضجيج(: بعد عملية تقدير األو ازن يمكن بالنظر إلى v 1, v 2. y t = v(b)x t + n t )2313 تقدير الضجة n t من التالي)البد ارني والحيالي n t = y t v(β)x t = y t v 0 x t v 1 x t 1 v g x t g 44

61 حيث g قيمة عملية مناسبة يحددها صاحب النموذج ألن أو ازن دالة التحويل تحتوي على عدد غير منته من الحدود. فحالما يتم تقدير سلسلة اإلزعاجات يصبح من الضروري تحديد النموذج المالئم لها ويمكن تشخيصه من خالل فحص دالة االرتباط الذاتي ودالة االرتباط الذاتي الجزئي وباستخدام أدوات التعرف على السالسل الزمنية للحصول على سلسلة البواقي a t والتي تمثل تشويش أبيض وتكتب بالشكل اآلتي: φ n (β)n t = θ n (β)a t n t ARIMA(p 0, 0, q 0 ) نحدد أي q n, p n لنموذج أريما ل تقدير معلمات نموذج الدالة التحويلية: بعد أن تم التعرف على شكل نموذج الدالة التحويلية وتحديد نموذج الخطوة تقدير جميع المعلمات الموجودة في النموذج ARIMAX سلسلة الضجة )االزعاج( يتم في هذه ; البد ارني والحيالي 2013(: وذلك كالتالي )حياوي واسماعيل 2012 y t = ω(β) δ(β) x t b + θ(β) φ(β) a t من النموذج أعاله نحتاج لتقدير المعلمات التالية: δ = ( δ 1,, δ r ),ω = (ω 0,, ω x ), φ = (φ 1,, φ p ), θ = (θ 1,, θ q ) بعد ضرب δ(β)φ(β) نموذج ARIMAX في يمكن كتابة النموذج كالتالي: δ(β) φ(β)y t = φ(β)ω(β)x t b + δ(β)θ(β)a t أن: نفرض c(β) = δ(β)φ(β), d(β) = φ(β)ω(β), e(β) = δ(β)θ(β) وبالتعويض يصبح لدينا الصيغة المختزلة التالية: c(β)y t = d(β)x t b + e(β)a t وحد الخطأ يتوزع طبيعيا بمتوسط صفر وتباين.σ 2 θ l, φ k, ω j, δ i حيث أن c i, d j, e k هي دوال في 45

62 أالن يتم تقدير متجه المعلمات (δ, ω, φ, θ) لتقدير لمعلمات وذلك كالتالي :)Hamjah&Chowdhury,2014( باستخدام دالة الترجيح األعظم الشرطية وهي الط ارئق إحدى 2 l(δ, ω, φ, θ, σ a /b, x, y, x 0, y 0, a 0 ) = (2πσ 2 a ) n 2e (1 2 σ a 2 n a 2 t=1 t ).a t حيث a 0, y 0, x 0 قيم ابتدائية لحساب تشخيص النموذج: بعد أن تم تحديد شكل نموذج الدالة التحويلية وتقدير جميع معلماته البد من اختبار النموذج للتأكد من صحته واستخدامه في التنبؤ. ويتطلب ذلك )البد ارني و الحيالي 2013(: أ -فحص دالة اإلرتباط الذاتي والذاتي الجزئي لسلسة البواقي e t يتم تشخيص كفاية النموذج من خالل رسم كل من دالة االرتباط الذاتي ودالة االرتباط الذاتي الجزئي للبواقي ويجب أال يظهر أي نمط واضح وتكون جميع االرتباطات غير معنوية أي تكون سلسلة تشويش أبيض بمعنى أن جميع االرتباطات الذاتية والذاتية الجزئية تقع داخل حدود الثقة )أو استخدام اختبار مثل اختبار بوكس- لوجنق(. ب فحص اإلرتباط المتقاطع بين سلسلة المدخالت المبيضة α t والبواقي يتم إختبار أن سلسلة البواقي e t e t مستقلة عن سلسلة المدخالت المبيضة α t من خالل إيجاد االرتباط المتقاطع بينهما )بحيث يكون غير معنوي ) ويجب أن ال يظهر أي نمط وأن تقع قيم اإلرتباط المتقاطع ضمن األخطاء المعيارية.2(n k) 1 2 والصيغة الرياضية بوكس-لوجنق الختبار أن االرتباطات الذاتية بأنها صغيرة وعشوائية كاآلتي φ = k n(n + 2) (n K) 1 r k 2 ( α ) k=1 :(Aryani et al.,2015) حيث: قيمة اختبار بوكس-لوجنق. : r k اإلرتباطات. قيم 2 : φ α : قيم n: عدد المشاهدات في السلسلة. السلسلة المبيضة. K: عدد اإلبطاءات لالرتباطات الذاتية. 46

63 إذا كان النموذج المقدر غير مالئم بعد فحصة ربما نتج ذلك من أحد السببين التاليين )سيد أحمد :)2015 دالة التحويل v(β) غير صحيحة حتى وان كان نموذج الضجة لسلسلة المدخل والمخرج مناسب. دالة التحويل v(β) صحيحية ونموذج الضجة لسلسلة المدخل والمخرج غير مالئم لهذه السالسل التنبؤ: بعد أن نتأكد من أن النموذج مالئم ويتصف بالدقة في الخطوة السابقة يمكن استخدام هذا النموذج في التنبؤ بسلسلة المخرج.y t y t في المستقبل اعتمادا على بيانات الماضي لكل من سلسلة المدخل وسلسلة المخرج x t توجد معايير الختبار الدقة التنبؤية لنموذج دالة التحويل المقدر منها معيار متوسط مربعات الخطأ Mean )MSE) Square Error ومتوسط الخطأ المطلق Error) MAE )Mean Absolute ومتوسط األخطاء النسبية المطلقة Error) MAPE (Mean Absolute Percentage وهذه المعايير تعطي أفضلية للنموذج الذي يعطيها أقل قيمة. والصيغ الرياضية لهذه المعايير كما يلي )حياوي محمد 2312 (: n MSE = (y t y t) 2 t=1 n n MAE = y t y t n MAPE = n t=1 t=1 y t y t y t /n حيث: : y t القيم األصلية لسلسلة المخرج. : n عدد المشاهدات في السلسلة. القيم التنبؤية لسلسلة المخرج. : y t 47

64 11.2 معايير جودة النموذج: إن اختيار النموذج المناسب والمالئم عملية ليست سهلة فهي تتطلب بعض الجهد وعليه يجب على الباحث مواجهتها من خالل اإللمام العلمي الكامل بمعايير عدة يمكن استخدامها وصوال إلى النموذج المالئم )مطر وحسين 2006 (. حيث قد يجد الباحث نفسه أمام عدة نماذج مرشحة وال تكون جميعها مرفوضة لهذا السبب تم وضع بعض المعايير التي تساعد في اختيار النموذج األفضل من بين النماذج المرشحة حيث يتم تحديد رتبة النموذج باختيار النموذج الذي يملك أقل قيمة لهذه المعايير) Matroushi,2011 (: :(Akaike Information Criteria) )AIC) أ- معيار معلومات أكاكي عرف هذا المعيار من قبل العالم Akaike عام ) ( حيث قدم من خالله معلومات الختيار الرتبة المالئمة للنموذج من بين عدة نماذج بحيث تقابل الرتبة المناسبة أقل قيمة لمعيار مالئمة AIC وتمثل الرتبة األكثر وهذا المعيار يساوي ضعف عدد المعلمات مطروحا منه ضعف دالة اإلمكان األعظم للمشاهدات ويعبر عنه رياضيا بالشكل اآلتي )مطر وحسين 2006(: حيث أن K: عدد معلمات النموذج L: تمثل دالة اإلمكان األعظم وتكون صيغة المعيار حيث n: عدد المشاهدات AIC (k) = 2k 2 ln L )AIC) بداللة مقدار تباين الخطأ للسهولة في اإلستخدام كما يلي: AIC (k) = 2k + n ln σ a 2 σ a 2 : مقدار تباين الخطأ. ب- معيار معلومات بيز )BIC( )Bayesian Information criteria) لقد قام الباحث Akaike عامي ) ( بتطوير المعيار AIC إلى المعيار الجديد الذي سمي بمعيار معلومات بيز )BIC( وصيغته كالتالي )Akaike,1981( : BIC (K) = n ln σ 2 a ( n k) ln (1 k ) + kln n + k ln [( σ y 2 n σ2 1 ) /k] a حيث أن: 2 : σ a مقدر تباين الخطأ. k: عدد المعلمات. 2 : σ y مقدر تباين السلسلة حيث يتم اختيار النموذج الذي يقابل القيمة األقل للمعيار 48

65 12.2 الخالصة: في هذا الفصل تناولنا المفاهيم واألدوات األساسية المتعلقة بالسالسل الزمنية والتنبؤ بها باستخدام أسلوب بوكس وجنكنز كما استعرضنا المفاهيم األساسية لألنظمة الديناميكية ونماذج الصندوق األسود (Black Box models) وتم الحديث عن مفهوم أو ازن دالة التحويل ودالة االرتباط التقاطعي )المضاعف( والعالقة بينهما ومفهوم عملية التبييض كما تناولنا أيضا التنبؤ بالسالسل الزمنية باستخدام نماذج ARIMAX وم ارحل بناء النموذج )التعرف على النموذج تقدير معلمات نموذج دالة التحويلية تشخيص النموذج التنبؤ( كما تم الحديث عن معايير جودة اختيار النموذج األفضل ومقاييس دقة التنبؤ. 49

66 الفصل الثالث حتليل البيانات ومناقشة النتائج 51

67 1.3 مقدمة في هذا الفصل من الد ارسة سيتعرض الباحث لنتائج الجانب التطبيقي للد ارسة من خالل العرض التفصيلي المسبق لخطوات التحليل اإلحصائي لبيانات السالسل الزمنية التي تتمثل في الناتج المحلي اإلجمالي والقوى العاملة في الواليات المتحدة االمريكية خالل الفترة الزمنية حيث يبدأ الباحث الفصل بعرض وصف إحصائي مبسط لبيانات السالسل الزمنية من خالل المقاييس اإلحصائية والرسومات البيانية بغرض إعطاء فكرة عامة عن طبيعة بيانات السالسل الزمنية التي سيتم نمذجتها باستخدام نماذج )ARIMAX( وفق منهجية بوكس وجنكيز وذلك باالعتماد على اللغة البرمجية للتحليل اإلحصائي Software( R( باستخدام الحزمة )Forecast( والحزمة.)TSA( 2.3 الوصف اإلحصائي لبيانات السالسل الزمنية. تشمل الد ارسة على سالسل زمنية قصيرة المدى تتكون من )68( مشاهدة خالل السنوات 1947 حتى 2014 وهذه السالسل عبارة عن متغي ارت اقتصادية لالقتصاد األمريكي وهي الناتج المحلي اإلجمالي )GDP( بوحدة المليا ارت والقوى العاملة )Employment( بوحدة اآلالف وتم الحصول عليها من ( of US. Bureau )Y( ولتسهيل كتابة الرموز سيرمز الباحث لمتغير الناتج المحلي اإلجمالي بالرمز.)Economic Analysis باعتباره المتغير التابع أو المتغير المخرج variable( )Output في نموذج دالة التحويل وسيرمز لمتغير القوى العاملة بالرمز )X( كونه متغير مدخل variables( )Input في دوال التحويل. يتضح من الجدول )1.3( المقاييس اإلحصائية للسالسل الزمنية حيث يالحظ أن الناتج المحلي اإلجمالي للواليات المتحدة خالل فترة الد ارسة ت اروح بين )63846,6-7757,8( بمتوسط حسابي )30455,94( وبانح ارف معياري )17669,5( وحجم القوى العاملة ت اروح بين ) ( بمتوسط حسابي )97927,78( وبانح ارف معياري )31045,78(. جدول )1.3(: الوصف الحسابي لبيانات السالسل الزمنية السالسل الزمنية الوسط الحسابي االنح ارف المعياري أقل قيمة أكبر قيمة 63846, , ,50 Y الناتج المحلي االجمالي 30455, , , , ,78 X العمالة 50

68 والشكل رقم )1.3( يعرض التسلسل الزمني لمتغي ارت الد ارسة في مستواها وذلك بعد استبعاد اخر ثالث مشاهدات من كل سلسلة لكي يتم مقارنتها الحقا مع المشاهدات المتنبأة. شكل (1.3): يوضح التسلسل الزمني لمتغي ارت الد ارسة في المستوى. 52

69 3.3 اختبار سكون السالسل الزمنية. للتحقق من شرط سكون السالسل الزمنية يمكن االعتماد على الرسومات البيانية للسالسل الزمنية في المستوى والموضحة سابقا حيث توحي الرسومات البيانية في المستوى بعدم سكون سلسلتي الناتج المحلي اإلجمالي )Y( وحجم القوى العاملة )X( ولمزيد من التأكيد واإليضاح تم استخدام اختباري ديكي فوالر الموسع) Fuller )Augmented Dickey وفليب بي رون )Phillips Perron( لتحديد درجة سكون السالسل الزمنية لكل سلسلة على حدا والجدول رقم )2.3( يوضح نتائج االختبا ارت. جدول (2.3(: نتائج اختباري ديكي فوالر الموسع) ADF ( وفليب بيرون )PP( للتحقق من سكون السالسل الزمنية السالسل الزمنية اختبار ديكي فوالر )ADF-Test( المستوى إحصاء االختبار الداللة Y الفرق األول إحصاء االختبار الداللة اختبار فليب بيرون )PP-Test( المستوى إحصاء االختبار الداللة الفرق األول إحصاء االختبار الداللة 0.010> 0.010> X حيث يتضح من خالل الجدول السابق أن نتائج اختبار ديكي فوالر الموسع )ADF( تشير ألن السالسل الزمنية غير ساكنة في المستوى عند مستوى داللة 0,05 حيث أن مستويات الداللة اإلحصائية المحسوبة أكبر من مستوى 0,05 ولكن تشير نتائج االختبار أن السالسل الزمنية وصلت لمرحلة السكون بعد إج ارء الفروق األولى لها حيث أن مستويات الداللة اإلحصائية لالختبار أقل من مستوى لنفس النتائج. 4.3 نماذج أرما )ARMA( للسالسل الساكنة. 0,05 وتشير نتائج اختبار )PP( أ-مرحلة التعرف على النماذج: تم رسم دوال االرتباط الذاتي )AC( والذاتي الجزئي )PAC( للسالسل الزمنية الساكنة ذلك لالسترشاد بهما في تحديد رتب نموذج ARMA ومن خالل )2.3( النموذج األفضل الجدول رقم )3.3( يوضح بدائل نماذج ARIMA ويتضح من خالل الجدول لكل سلسلة بيانات حيث يوضح الشكل رقم ومعايير المقارنة بينهما وذلك لتحديد أن سلسلة الفروق األولى للناتج المحلي اإلجمالي )Y ( تأخذ نموذج ARMA ذو الرتب ARMA(1,0) وسلسلة الفروق األولى لبيانات العمالة )X ( تأخذ النموذج ذو الرتبة( ARMA(0,1. 53

70 وبإدخال رتب التكامل )Integrated( أي درجة الفروق لكل سلسلة تصبح رتب نموذج ARIMA لسلسلة الناتج المحلي ARIMA(1,1,0) ورتب نموذج ARIMA لسلسلة العمالة ARIMA(0,1,1) والجدول رقم )3.3( يوضح بدائل نماذج أريما للسالسل الزمنية واختيار النموذج األفضل. PAC للسالسل الزمنية الساكنة. AC شكل (2.3): يوضح دوال االرتباط الذاتي واالرتباط الذاتي الجزئي 54

71 جدول )3.3(: المقارنة بين بدائل نماذج أريما الختيار النموذج األفضل Models ARIMA(1,1,0) ARIMA(0,1,1) ARIMA(1,1,1) ARIMA(2,1,0) ARIMA(2,1,1) ARIMA(2,1,2) ARIMA(0,1,2) AIC Y BIC RMSE MAPE AIC X BIC RMSE MAPE ARIMA(1,1,2) ب- مرحلة تقدير النماذج: تم تقدير نماذج أريما المقترحة استنادا لدوال االرتباط الذاتي والذاتي الجزئي للسالسل الزمنية الساكنة التي يتم د ارستها ومن خالل تجريب البدائل المختلفة لنماذج أريما لكل سلسلة بيانات وذلك للحصول على النموذج األفضل والنتائج الموضحة بالجدول رقم )3.3( تشمل نتائج النموذج األفضل Model( )Best لكل سلسلة بيانات حيث جاءت هذه النماذج متوافقة مع النماذج المتوقعة وكانت جميع المعامالت المقدرة ذات داللة إحصائية عند مستوى 0,05 حيث أن قيمة )t-statistics( كانت أكبر من 1,96 لجميع المعامالت. 55

72 جدول )4.3(: نتائج تقدير النموذج األفضل لكل سلسلة زمنية من سالسل الد ارسة الناتج المحلي اإلجمالي حجم العمالة السالسل الزمنية )X( )Y( ARIMA(0,1,1) ARIMA(1,1,0) النموذج α t-statistic الحد الثابت t-statistic AR θ t-statistic MA ت- مرحلة تشخيص النماذج: األشكال )3.3( )4.3( توضح نتائج تشخيص نماذج أريما المقدرة للسالسل الزمنية من خالل رسم شكل االنتشار للبواقي المعيارية لكل نموذج ورسم دالة االرتباط الذاتي للبواقي وكذلك حساب الداللة اإلحصائية الختبار )Ljung-Box( وتشير جميع األشكال البيانية ألن البواقي المعيارية تنتشر بشكل عشوائي حول خط الصفر وكذلك تشير دالة االرتباط الذاتي ألن جميع معامالت االرتباط الذاتي ال تختلف عن الصفر حيث تقع جميع المعامالت داخل الخطوط الحرجة وأخي ار يتضح من خالل األشكال أن مستويات الداللة المحسوبة الختبار )Ljung-Box( جميعها اكبر من 0,05 حيث تنتشر النقاط بعيدا عن الخط الحرج للداللة وهذه النتائج تؤكد جودة ومالئمة نماذج أريما المقدرة لبيانات السالسل الزمنية. 56

73 شكل (3.3): رسم البواقي المعيارية ودالة االرتباط الذاتي للبواقي وداللة اختبار )Ljung-Box( لنموذج ARIMA(1,1,0) لسلسلة بيانات الناتج المحلي اإلجمالي. شكل (4.3): رسم البواقي المعيارية ودالة االرتباط الذاتي للبواقي وداللة اختبار )Ljung-Box( لنموذج ARIMA(0,1,1) لسلسلة بيانات حجم العمالة. 57

74 ث-مرحلة التنبؤ: الجدول رقم )5.3( يوضح نتائج استخدام نماذج أريما المقدرة للتنبؤ بقيم جديدة لبيانات السالسل الزمنية حيث يشمل الجدول على تنبؤات جديدة لثالث سنوات إضافة وتم مقارنتها مع القيم الحقيقة وبناء فترة ثقة %95 لهذه التنبؤات واألشكال )5.3( )6.3( توضح رسم التسلسل الزمني للبيانات الحقيقة والبيانات المقدرة والتنبؤات الجديدة. جدول) 5.3 (: التنبؤ بقيم ثالث سنوات جديدة للسالسل الزمنية ومقارنتها مع القيم الحقيقة فترة ثقة %95 القيمة السلسلة التنبؤ البواقي السنة الحد األدنى الحد األعلى الحقيقية الزمنية الناتج المحلي اإلجمالي )Y( حجم العمالة* )X( *مالحظة: تم تقريب تنبؤات سلسلة العمالة ألقرب عدد صحيح ألنها تمثل أعداد صحيحة. 58

75 شكل يوضح رسم القيم الحقيقية والمقدرة والتنبؤات لسلسلة بيانات الناتج المحلي اإلجمالي وفق نموذج.ARIMA (1,1,0( :)5.3) شكل يوضح رسم القيم الحقيقية والمقدرة والتنبؤات لسلسلة بيانات حجم القوى العاملة وفق نموذج.ARIMA (0,1,1( :(6.3) 59

76 5.3 نماذج.ARIMAX تباينت الد ارسات والم ارجع في كيفية تقديرها لنماذج ARIMAX حيث بعض الد ارسات قامت بتقدير نموذج ARIMA االعتيادي على سلسلة بيانات المتغير التابع ومن ثم قامت بإضافة المتغير المستقل للمعادلة بكل بساطة وبعض الد ارسات تعاملت مع نماذج ARIMAX على أنها نماذج دوال التحويل ( Transfer )Functions حيث يتم د ارسة المتغير التابع وفق منهجية ARIMA لتحديد رتب النموذج ومن ثم يتم تحديد رتبة دالة التحويل من خالل دالة االرتباط التقاطعي ( Function-CCF )Cross Correlation بين سلسلة بيانات المتغير التابع وسلسلة بيانات المتغير المستقل وذلك بعد إج ارء عملية تبيض )Pre-whiten( أو فلترة )Filter( للسالسل الزمنية الساكنة. علما أن الطريقة البسيطة لتقدير نموذج ARIMAX من خالل إضافة المتغير المستقل لنموذج ARIMA في مضمونها تعتبر نموذج دالة تحويل من الرتب صفر وفيما يلي تقدير نموذج ARIMAX الذي يدرس سلسلة بيانات الناتج المحلي اإلجمالي )Y( مع سلسلة بيانات العمالة )X( علما أن م ارحل تقدير النموذج تتم على السالسل الزمنية الساكنة المرحلة األولى: يتم فيها تقدير نموذج أريما األفضل لسلسلة بيانات المتغير المستقل )X( حيث تم إنجاز هذه المرحلة وتحديد نموذج أريما األفضل للمتغير المستقل )متغير العمالة( ونتائج التقدير موضحة بالجداول السابقة )3.3( )4.3( حيث تم التوصل ألن نموذج أريما لسلسلة بيانات العمالة كان.ARIMA(0,1,1) المرحلة الثانية: يتم فيها أ( تبييض أو فلترة السالسل الزمنية علما ان سالسل بيانات المتغي ارت المستقلة المفلترة )X( تتمثل في بواقي نموذج أريما المقدر وباستخدام معامالت نموذج أريما لكل متغير مستقل يتم فلترة سلسلة بيانات المتغير التابع )Y( المتمثل بالناتج المحلي اإلجمالي حيث تم إج ارء عملية الفلترة للمتغي ارت من خالل برنامج )R(. ب( رسم دوال االرتباط التقاطعية Function( )Cross Correlation بين سلسلة الناتج المحلي اإلجمالي) Y ( وسلسلة العمالة) X ( والشكل )7.3( يوضح دالة االرتباط التقاطعية بين سلسلتي الناتج )Y( والعمالة )X( في حالة السكون وعدمه وبعد فلترة السالسل الزمنية. 61

77 شكل (7.3) يوضح رسم دوال االرتباط التقاطعية Correlation( )Cross لسلسلتي الناتج المحلي )Y( والعمالة )X( في المستوى وفي الفرق األول وللسالسل المفلترة المرحلة الثالثة: يتم فيها أ( تحديد رتب نموذج ARIMAX من خالل تحديد رتب نموذج ARIMA للمتغير التابع )Y( )الناتج المحلي اإلجمالي( والتي تتمثل في )p,d,q( والتي تم تحديدها مسبقا بالرتب.ARIMA)1,1,0( ب( تحديد رتب دالة التحويل المتمثلة في )r,s,b( حيث )b( تمثل الزمن الميت في االتجاه الموجب لدالة االرتباط الذاتي وهو الزمن الذي تنعدم عنده معنوية االرتباطات بدالة االرتباط التقاطعية )s( تمثل رتبة بسط دالة التحويل )r( تمثل رتبة مقام دالة التحويل ويتم تحديهما من خالل االرتباطات التقاطعية المعنوية بدالة االرتباط التقاطعية Function( )Cross Correlation للسالسل المفلترة ومن خالل دوال االرتباط التقاطعية نالحظ أن الزمن الميت يساوي صفر )0=b( ومن خالل تجريب عدة نماذج مختلفة لوحظ أن رتبة بسط دالة التحويل في النموذج األول )الناتج المحلي والعمالة( كانت تساوي )0=s( ورتبة المقام كانت )1=r( المرحلة الرابعة: تقدير نموذج ARIMAX المقترح والجدول )6.3( يوضح نتائج تقدير نماذج أريماكس بطريقة دالة التحويل وبطريقة إضافة المتغير المستقل لنموذج أريما وكذلك يشمل الجدول على نتائج نموذج أريما لسلسلة الناتج المحلي اإلجمالي حيث )φ( تمثل معامل االنحدار الذاتي للمتغير التابع 60

78 ( o ω( تمثل معامل دالة التحويل في البسط ( 1 δ( تمثل معامل دالة التحويل في المقام. حيث من خالل مقارنة النماذج الثالثة مع بعضها البعض يتضح أن قيم AIC( )RMSE, MAPE, قد انخفضت في نماذج أريماكس مقارنة بنموذج أريما وعند مقارنة نماذج أريماكس بكال حالتيها )نموذج دالة التحويل والنموذج العادي( مع بعضها البعض نالحظ أن نموذج دالة التحويل أفضل من النموذج العادي وهذا يدل على أفضلية نموذج دالة التحويل. وبشكل عام أفضلية نماذج أريماكس بنوعيها مقارنة بنماذج أريما وتفسير هذه النتيجة يكمن في أن نماذج أريماكس تشمل على حدود إضافية في معادلة التقدير. جدول (6.3(: نتائج تقدير نماذج أريماكس مقابل نموذج أريما لسلسلة بيانات الناتج المحلي اإلجمالي والعمالة ARIMA t-stat Value ARIMAX t-stat Value ARIMAX-TF t-stat Value المعامالت الحد الثابت AR = φ X ω o δ 1 AIC RMSE MAPE وفيما يلي معادلة التنبؤ ARIMAX-TF 0,308 (1 B)Y t = ( 1 + 0,453B ). (1 B)X 1 t + ( 1 0,694B ). e t ARIMAX Y t = Y t X 62

79 5.5.3 المرحلة الخامسة: تشخيص نماذج ARIMAX حيث األشكال )8.3( )9.3( )10.3( )11.3( توضح نتائج تشخيص نماذج أريماكس المقدرة للسالسل الزمنية من خالل: أ( ب( ت( رسم شكل االنتشار للبواقي المعيارية لكل نموذج. ورسم دالة االرتباط الذاتي للبواقي. وكذلك حساب الداللة اإلحصائية الختبار.)Ljung-Box( وتشير جميع األشكال البيانية ألن البواقي المعيارية تنتشر بشكل عشوائي حول خط الصفر وكذلك تشير دالة االرتباط الذاتي ألن جميع معامالت االرتباط الذاتي ال تختلف عن الصفر حيث تقع جميع المعامالت داخل الخطوط الحرجة وأخي ار يتضح من خالل األشكال أن مستويات الداللة المحسوبة الختبار )Ljung-Box( جميعها أكبر من 0,05 حيث تنتشر النقاط بعيدا عن الخط الحرج للداللة وهذه النتائج تؤكد جودة ومالئمة نماذج أريماكس المقدرة لبيانات السالسل الزمنية. كما ويوضح الشكل )12.3( مقارنة بين القيم الحقيقة لسلسلة الناتج المحلي اإلجمالي والقيم المقدرة باستخدام نماذج أريماكس وتشير األشكال لجودة التقدير العالية باستخدام نماذج أريماكس حيث تقارب الخطوط المقدرة من الخط الحقيقي لسلسلة بيانات المتغير التابع. شكل (8.3(: يوضح رسم البواقي المعيارية لنموذجي.ARIMAX 63

80 شكل (9.3): يوضح رسم دوال االرتباط الذاتي لبواقي نماذج.ARIMAX 64

81 شكل (10.3): يوضح القيمة االحتمالية الختبار statistics( )Ljung-Box لنموذج دالة التحويل )Transfer function( شكل (11.3(: يوضح القيمة االحتمالية الختبار statistics( )Ljung-Box لنموذج.ARIMAX 65

82 شكل (12.3): يوضح رسم القيم الحقيقية والمقدرة لسلسلة بيانات الناتج المحلي اإلجمالي وفق النماذج المختلفة المرحلة السادسة: مرحلة التنبؤ بالقيم المستقبلية للمتغير التابع حيث يتم استخدام نماذج أريماكس للتنبؤ بالقيم المستقبلية من خالل معلومية قيم المتغير المستقل أو تحديدها وفق السياسة المطلوبة والمرجوة من السلسلة المدروسة وهذا ما يعرف بنماذج التدخل model( )intervention ولكن في حال عدم توفر قيم عن بيانات المتغير المستقل في نموذج أريماكس يتم التنبؤ بها باستخدام نموذج أريما المناسب للمتغير المستقل واستخدام هذه التنبؤات وتعويضها في نماذج أريماكس والتنبؤ بالقيم المستقبلية للمتغير التابع )2009.)Tasy, الجدول رقم )7.3( يوضح نتائج استخدام نموذج أريما ونماذج أريماكس المقدرة للناتج المحلي اإلجمالي للتنبؤ بقيم جديدة لبيانات السالسل الزمنية حيث يشمل الجدول على تنبؤات جديدة لثالث سنوات إضافة تم مقارنتها مع القيم الحقيقة. 66

83 جدول (7.3): التنبؤ بقيم ثالث سنوات جديدة للناتج المحلي اإلجمالي باستخدام نموذج ARIMA ونماذج ARIMAX القيم ARIMAX ARIMAX-TF ARIMA الحقيقية التنبؤ الباقي التنبؤ الباقي التنبؤ الباقي السنة MAPE RMSE التنبؤية MAPE RMSE انخفضت قيمتها مقارنة بنماذج ARIMA كما نالحظ من الجدول أن دقة النتائج وهذا يعطي أفضلية للتنبؤ بنماذج ARIMAX بنوعيها. 67

84 شكل (13.3(: رسم تخطيطي لم ارحل بناء نموذج أريماكس ARIMAX تسكن x & y بالفروق ال فحص السكون للسالسل الزمنية للمدخالت x وللمخرجات y نعم مرحلة التعرف على النموذج تبيض y لنفس ARIMA (p,q) اختيار نموذج ARIMA BIX & المالئم ألقل )p,q( AIC تبيض سلسلة X ب (P,q) ARIMA متنوعة فحص االرتباطات التقاطعية بين سلسلة المخرجات المبيضة y وسلسلة المدخالت x تحديد رتب نموذج ARIMAX من خالل تحديد رتب نموذج ARIMA للمتغير التابع y المتمثلة ب (p,d,q) تحديد رتب دالة التحويل (r,s,b) تقدير نماذج أريماكس 0. بطريقة دالة التحويل.2 بطريقة إضافة المتغير المستقل لنموذج أريما وتحديد قيم δ 1 ω o φ مرحلة التقدير تشخيص نماذج أريماكس من خالل رسم شكل االنتشار للبواقي المعيارية لكل نموذج رسم دالة االرتباط الذاتي للبواقي اختبار لوجينك بوكس التنبؤ مرحلة التشخيص من إعداد الباحث 68